工程电磁场仿真与应用：有限差分法

在电磁场数值计算方法中，有限差分法（Finite Difference Method，简称FDM）是应用最早的一种方法。有限差分法以其概念清晰、方法简单等特点，在电磁场数值分析领域内得到了广泛的应用。现阶段各种电磁场数值计算方法发展很快，尤其是在有限差分法与变分法相结合的基础上形成的有限元法日益得到广泛的应用。

为求解由偏微分方程定解问题所构造的数学模型，有限差分法的基本思想是利用网格剖分将定解区域（场域）离散化为网格离散节点的集合，然后，基于差分原理的应用，以各离散点上函数的差商来近似替代该点的偏导数。这样，待求的偏微分方程定解问题可转化为相应的差分方程组（代数方程组）问题，解出各离散点上的待求函数值，即为所求定解问题的离散解，若再应用插值方法，便可从离散解得到定解问题在整个场域上的近似解。

对于包括电磁场在内的各种物理场，应用有限差分法进行数值计算的步骤通常是：

（1）采用一定的网络划分格式离散化场域，把实际连续的场离散为有限多个点，用这些离散点上的参数近似描述实际上连续的场也就是所谓的离散。

（2）基于差分原理的应用，对场域内偏微分方程以及场域边界上的边界条件进行差分离散化处理，即用差商代替偏导数，给出相应的差分计算格式。

（3）结合一定的代数方程组的解法，编制计算程序求解由上述步骤所得到的对应于待求边值问题的差分方程的解，即求出节点的位函数值，据此进一步求出场强分布。

有限差分法是以差分原理为基础的一种数值计算法。它用离散的函数值所构成的差商来近似逼近相应的偏导数，而所谓差商则是基于差分应用的数值微分表达式。设一函数 f （ x） ，其自变量x 得到一个很小的增量Δx=h，则函数 f （ x） 的增量为(www.xing528.com)

式（1-15）称为函数 f （ x） 的一阶差分。显然，只要增量h 很小，差分 Δf 与微分df之间的差异将很小。

一阶差分仍是自变量x 的函数，类似地，按式（1-15）计算一阶差分的差分，就得到Δ2 f （ x），称之为原始函数 f （ x）的二阶差分。同样，当h 很小时，二阶差分Δ2 f （ x）逼近于二阶微分d2f。同理，可以定义更高阶的差分。

根据泰勒展开式定理，如果定义在一个包含x 的区间上的函数 f （ x） 在x 处n+1 次可导，那么对于在这个区间的任意x+Δx ，都有

令ui+ 1，j=ui ，j +Δ u ，代入上式有

根据差分形式的不同，可以将有限差分法分为前向差分、后向差分和中心差分三种不同的形式。

综上所述，对场域D 内各个节点（包括所有场域内节点和有关的边界节点）逐一列出对应的差分计算格式，即构成以这些离散节点上的位函数u 为待求量的差分方程组（代数方程组）。该方程组的系数一般都有规律，且各个方程都很简单，包含的项数不多（取决于前述对称或不对称的所谓星形离散结构，每个方程待求量的项数最多不超过5 项）。