高等数学竞赛题解析教程：求解二阶线性微分方程

例8.21（江苏省1994年竞赛题）　给定方程y″+（siny-x）（y′）3=0.

（1）证明并将方程化为以x为因变量，以y为自变量的形式；

（2）求方程的通解.

解析　应用反函数求导法则两边对x求导得

一起代入原微分方程得

即

特征方程为λ2+1=0，故λ=±i，对应的齐次方程的通解为

x=C1cosy+C2siny

令原方程的特解为=y（Acosy+Bsiny），则

=（A+By）cosy+（B-Ay）siny

=（B+B-Ay）cosy+（-A-A-By）siny

一起代入原微分方程得

（2B-Ay+Ay）cosy+（-2A-By+By）siny=siny(www.xing528.com)

比较系数得B=0，A=-，故=于是所求通解为

例8.22（精选题）　设f（x）在［1，+∞）上二阶连续可导，f（1）=0，f′（1）=1，函数z=（x2+y2）f（x2+y2）满足=0，求f（x）在［1，+∞）上的最大值.

解析　令u=x2+y2，则z=uf（u），=2x，=2y，且

利用函数z中x与y的对称性，易得

将（1）与（2）式代入方程=0可得

u2f″（u）+3uf′（u）+f（u）=0　（3）

（3）式是二阶欧拉方程.令u=et，则

代入（3）式得

其特征方程为λ2+2λ+1=0，解得λ=-1，-1，于是方程（4）的通解为

由f（1）=0，f′（1）=1，得C1=0，C2=1，于是f（x）=

由于f′（x）=令f′（x）=0得驻点x0=e，且当1≤x＜e时f′（x）＞0，当x＞e时f′（x）＜0，所以f（e）=为所求的最大值.