高数竞赛二阶线性微分方程解析

例8.13（江苏省1994年竞赛题）　设四阶常系数线性齐次微分方程有一个解为y1=xexcos2x，则通解为________.

解析　由特解y1=xexcos2x，表明特征方程有二重特征根λ=1±2i，故特征方程为

（λ-1-2i）2（λ-1+2i）2=0

化简得（λ2-2λ+5）2=λ4-4λ3+14λ2-20λ+25=0，于是得所求的微分方程为y（4）-4y（3）+14y″-20y′+25y=0，此方程的通解为

y=ex［（C1+C2x）cos2x+（C3+C4x）sin2x］

例8.14（全国大学生2009年初赛题）　已知y1=xex+e2x，y2=xex+e-x，y3=xex+e2x-e-x是某二阶常系数线性非齐次方程的三个解，试求此微分方程.

解析　设所求微分方程为L（D）y=y″+py′+qy=f（x），令y=ay1+by2+cy3，由于

L（D）y=L（D）（ay1+by2+cy3）=（a+b+c）f（x）

所以，若a+b+c=0，则y=ay1+by2+cy3是微分方程L（D）y=0的特解；若a+b+c=1，则y=ay1+by2+cy3是微分方程L（D）y=f（x）的特解.因为

ay1+by2+cy3=（a+b+c）xex+（a+c）e2x+（b-c）e-x

L（D）y=y″-y′-2y=f（x）

将特解y=xex代入上式得f（x）=ex（1-2x），于是所求微分方程为

y″-y′-2y=ex（1-2x）

例8.15（北京邮电大学1996年竞赛题）　设u0=0，u1=1，un+1=aun+bun-1，n=1，2，….设f（x）=试导出f（x）满足的微分方程.

解析　已知f（x）=对x求导得

再求导，得

故f（x）满足微分方程

例8.16（精选题）　设二阶常系数线性非齐次方程

y″+ay′+by=（cx+d）e2x

有特解y=2ex+（x2-1）e2x，不解方程写出通解（说明理由），并求出常数a，b，c，d的值.

解析　微分方程的通解具有形式

y=C1y1（x）+C2y2（x）+（x）　（＊）

这里C1，C2为任意常数，y1（x），y2（x）为对应的齐次微分方程的基本解组.（x）=（αx+β）e2x，此时λ=2不是特征根；或~y（x）=x（αx+β）e2x，此时λ=2为单特征根.由于

y=2ex+（x2-1）e2x=2ex-e2x+x2e2x

此特解应为（＊）中取定常数C1，C2而得.分析可得y1（x）=ex，y2（x）=e2x，~y（x）=x2e2x.因而λ=1，2为特征根，故a=-（1+2）=-3，b=1·2=2.原方程的通解为

y=C1ex+C2e2x+x2e2x

将（x）=x2e2x代入y″-3y′+2y=（cx+d）e2x可得

e2x（4x2+8x+2）-3e2x（2x2+2x）+2x2e2x=（cx+d）e2x

化简得2x+2=cx+d，所以c=2，d=2.即有

a=-3，b=2，c=2，d=2(www.xing528.com)

例8.17（南京大学1993年竞赛题）　设φ（x）=cosx-，其中φ（u）为连续函数，求φ（x）.

解析　原式两边求导得

再两边求导得

φ″（x）+φ（x）=-cosx　（2）

其特征方程为λ2+1=0，特征根为λ=±i，故方程（2）的通解为

由原式和（1）式知φ（0）=1，φ′（0）=0，代入上式得C1=1，C2=0，故所求函数为

注　微分方程（2）的特解是用算子方法求的.若用待定系数法，令

（x）=x（A1cosx+A2sinx）

代入方程（2）得A1=0，A2=故（x）=

例8.18（北京市1993年竞赛题）　设具有连续二阶偏导数，且满足

试求函数u的表达式.

解析　令t=则

同理

代入原方程得+u=t2.此为二阶线性常系数方程，解得其通解为

u=C1cost+C2sint+t2-2

故所求函数u的表达式为

其中C1，C2为任意常数.

例8.19（全国大学生2010年初赛题）　设函数y=f（x）由参数方程

所确定，且其中ψ（t）具有二阶导数，曲线与y=在t=1处相切，求函数ψ（t）.

解析　记x=2t+t2=φ（t），则φ′（t）=2（1+t），φ″（t）=2.应用参数式函数的二阶导数公式得

化简上式得

此为关于ψ′（t）的一阶线性方程，其通解为

又由题意可知ψ′（1）=故2（3+C1）=，得C1=-3.于是

积分得

又因ψ（1）=，代入上式可得C2=2，故有ψ（t）=

例8.20（莫斯科电子技术学院1975年竞赛题）　用初等函数与不定积分表示y″-xy′-y=0的通解.

解析　原微分方程可写为y″-（xy）′=0，两边积分得y′-xy=C1，应用一阶线性非齐次微分方程求通解公式得

这里的不定积分只表示一个原函数.