高等数学竞赛题解析教程-可分离方程应用题

例8.4（江苏省1996年竞赛题）　设曲线C经过点（0，1），且位于x轴上方.就数值而言，C上任何两点之间的弧长都等于该弧以及它在x轴上的投影为边的曲边梯形的面积，求C的方程.

解析　设曲线方程为y=y（x），由题意得

两边求导得

于是

由y（0）=1，解得C=1.故所以

于是所求曲线方程为y=（ex+e-x）.

例8.5（南京大学1995年竞赛题）　已知曲线y=f（x）（x≥0，y≥0）连续且单调，现从其上任一点A作x轴与y轴的垂线，垂足分别是B和C.若由直线AC，y轴和曲线本身包围的图形的面积等于矩形OBAC的面积的，求曲线的方程.

解析　（1）当f（x）单调增时（如图（a）所示），在曲线上任取点A（a，f（a））.由题意得

化简得

两边对a求导得

3f（a）=2f（a）+2af′（a）

化简得积分得f（a）=于是所求曲线方程为y　=（其中C为任意正常数）.

（a）

（b）

（2）当f（x）单调减时（如图（b）所示），在曲线上任取点A（a，f（a））.由题意得

化简得

再两边对a求导得积分得f（a）=于是所求曲线方程为

例8.6（莫斯科动力学院1975年竞赛题）　求满足函数方程

的可微函数f（x）.

解析　由于y=0时

所以f（0）=0.又因为

两边令y→0得

f′（x）=f′（0）［1+f2（x）］(www.xing528.com)

分离变量得

积分得

arctanf（x）=f′（0）x+C1

令x=0代入得C1=0，于是所求函数为f（x）=tan（Cx）.

例8.7（北京市1995年竞赛题）　（1）求微分方程y′+sin（x-y）=sin（x+y）的通解；（2）求可微函数f（t），使之满足f（t）=cos2t+

解析　（1）应用三角公式，原方程等价于

y′+sinx·cosy-cosx·siny=sinx·cosy+cosx·siny

即y′=2cosx·siny，此为变量可分离的方程，分离变量得

两边积分得ln|cscy-coty|=2sinx+C1，即通解为

cscy-coty=Ce2sinx

（2）等式两端对t求导，得

f′（t）-sint·f（t）=-2sin2t

此为一阶线性微分方程，通解为

例8.8（精选题）　设有底面圆半径为R，高为h的正圆锥（h＞R），圆锥面上有一曲线Γ，已知Γ过底面圆周上的一点，Γ上每一点的切线与正圆锥面的轴线的夹角为求曲线Γ的方程.

解析　设圆锥是由yz平面上的直线

线z轴旋转而得.该圆锥的方程为

设曲线Γ的起点为A（R，0，0），曲线Γ的参数方程为

这里ρ=ρ（θ）为待求函数.曲线Γ的切向量为

故圆锥的轴线为z轴，取k=（0，0，1），由题意有

上式化简得

于是

由于θ=0时ρ=R，所以C=R，即ρ（θ）=故所求曲线Γ的参数方程为