高等数学竞赛题解析教程：求数项级数和

例7.47（北京化工大学1991年竞赛题）　计算

解析　由于

k！+（k+1）！+（k+2）！=k！［1+（k+1）+（k+1）（k+2）］=k！（k+2）2

所以考虑幂级数

则f′（x）===xex，于是

令x=1，得

例7.48（江苏省2004年竞赛题）　=_____________.

解析　首先求幂级数的和函数，有

令x=得

故原式==2（1-ln2）.

例7.49（江苏省2002年竞赛题）　求的和.

解析　首先考虑幂级数为

逐项积分得

令g（x）=（|x|＜1），逐项积分得

两边求导得

于是

两边求导得

所以

例7.50（莫斯科电子技术学院1977年竞赛题）　求级数的和.

解析　

令f（x）=|x|＜1，逐项求积分得

两边求导得f（x）=|x|＜1.令x=得

故原式=4-1=3.(www.xing528.com)

解析　令

两次逐项求导得

（1）式两边积分得

（2）式两边积分得

于是

例7.52（江苏省2012年竞赛题）　求级数的和

解析　原式=现令

于是

因此

又

故原式=8-

例7.53（莫斯科全苏大学生1975年竞赛题）　试求

解析　记p=则

由于sinx的幂级数展开式为

所以πp-π3q=sinπ=0，即原式==π2.

例7.54（莫斯科钢铁与合金学院1977年竞赛题）　证明：当p≥1时，有

解析　令xn=于是

由拉格朗日中值定理，存在θ∈（0，1），使得

于是

又=1，因此