高等数学竞赛题解析:求幂级数的收敛域和和函数

例7.29（南京大学1996年竞赛题）　求幂级数的收敛域.

解析　令则收敛域半径

当x=1时原幂级数为因为而发散，所以发散，即x=1时原级数发散.

当x=-1时，原幂级数为

令f（n）=，则，所以f（x）严格减，因此f（n）也严格减，又，据莱布尼兹判别法得收敛；又因～而收敛，所以收敛.于是x=-1时原级数收敛.

故所求收敛域为［-1，1）.

例7.30（北京市1996年竞赛题）　求级数的收敛域.

解析　令由于

故当时，原级数收敛.

当x=，原级数化为为莱布尼兹型级数，故收敛.

当x=-，原级数化为因为

而，应用积分判别法可得发散.因此由比较判别法得级数发散，因而发散.

综上所述，收敛域为

例7.31（江苏省2004年竞赛题）　求幂级数的收敛域.

解析　令an=则

所以幂级数的收敛半径R=3.当x=3时，原幂级数化为因为发散，由比较判别法知x=3时原幂级数发散.当x=-3时，原级数化为

因为为莱布尼兹型级数，收敛；令bn=由于bn＞0，且

由比值判别法知收敛，故x=-3时原幂级数收敛.故所求收敛域为［-3，3）.

例7.32（江苏省2002年竞赛题）　求幂级数的收敛域.

解析　令an=，因级数发散，故部分和1++…+→+∞（n→∞），由于n→∞时

所以收敛半径R=1.当x=1时，原级数为由于

应用比较判别法得发散.当x=-1时，原级数为，因an→0，且数列｛an｝单调减，应用莱布尼兹判别法得收敛.所以原幂级数的收敛域为［-1，1）.

例7.33（北京市1994年竞赛题）　求级数的收敛半径及和函数.

解析　令an=，则n≥1时均有1≤an≤n，而=1，由夹逼准则可知=1，所以幂级数的收敛半径R=1.

令

易知级数在（-1，1）上绝对收敛，应用绝对收敛级数的乘法规则，有

故幂级数的和函数为

例7.34（江苏省2006年竞赛题）　（1）设幂级数的收敛域为［-1，1］，求证：幂级数的收敛域也为［-1，1］.

（2）试问命题（1）的逆命题是否正确？若正确，给出证明；若不正确，举一反例说明.

解析　（1）因收敛，收敛，而，由比较判别法得收敛，故在x=±1时（绝对）收敛.下面证明：∀x0，|x0|＞1，级数发散.（反证法）设收敛，则对∀r，只要|r|＜|x0|，则收敛，取r1使得1＜|r1|＜|r|＜|x0|.因所以n充分大时，于是

故收敛，此与在|x|＞1时发散矛盾.所以幂级数的收敛域为［-1，1］.

（2）命题（1）的逆命题不成立.反例，其收敛域为［-1，1］，但的收敛域为［-1，1）.

例7.35（江苏省1994年竞赛题）　幂级数的和函数为_________.

解析　令f（x）=，逐项求积分得

两边求导得

故原式=x2f（x）=

例7.36（江苏省2006年竞赛题）　求幂级数的收敛域与和函数.

解析　令t=，则

设an=n，因=1，故收敛半径R=1.t=1时（＊）式发散，故（＊）式的收敛域为［0，1）.由此可解得原级数的收敛域为且

例7.37（北京市2001年竞赛题）　求的收敛区间与和函数.

解析　令则

于是，原级数的收敛区间为（-∞，+∞）.

因为

所以

综上所述，和函数S（x）=

例7.38（南京大学1993年竞赛题）　幂级数的和函数为_________，收敛域为________.

解析　首先令f（x）=，|x|＜1.逐项求积分两次得

两边求导数两次得(https://www.xing528.com)

于是原级数的和函数为xf（x）=，收敛域为（-1，1）.

例7.39（南京工业大学2009年竞赛题）　幂级数在（-1，1）上的和函数为_______________.

解析　令f（x）=，逐项求导得

积分得

例7.40（江苏省1998年竞赛题）　求幂级数的收敛域与和函数.

解析　因为

又因为幂级数的收敛域为的收敛域为［-1，1），取它们的交集为（-1，1），于是和函数与收敛域为

例7.41（南京大学1995年竞赛题）　求的和函数.

解析　因为

所以原级数的部分和函数为

由于|x|＜1，所以=0，于是

所以

例7.42（北京市1990年竞赛题）　对p讨论幂级数的收敛区间.

解析　令an=则

所以幂级数的收敛半径R=1.

当p＜0时，，所以幂级数在x=±1处发散.因此，p＜0时，收敛区间为（-1，1）.

当0≤p＜1时，若x=1，原幂级数为，因为+∞，而发散，所以发散；若x=-1是莱布尼兹型级数，故收敛.因此0≤p＜1时，收敛区间为［-1，1）.

当p=1时，若x=1，原级数化为，由积分判别法知发散；若x=-1，为莱布尼兹型级数，故收敛.因此p=1时，收敛区间为［-1，1）.

当p＞1时，若x=1，而级数收敛，由比较判别法可知收敛；若x=-1，则绝对收敛.因此p＞1时，收敛区间为［-1，1］.

综上可知，p＜0时，收敛区间为（-1，1）；0≤p≤1时，收敛区间为［-1，1）；p＞1时，收敛区间为［-1，1］.

例7.43（北京市2004年竞赛题）　设

证明当|x|＜1时幂级数收敛，并求其和函数S（x）.

解析　因为an+1=，所以=且

所以幂级数的收敛半径R=1，故当|x|＜1时，幂级数收敛.

由an+1=，即an=，于是

则

考虑，逐项积分得

两边求导数得f（x）=-所以

例7.44（浙江省2002年竞赛题）　设a1=1，a2=1，an+2=2an+1+3an，n≥1，求的收敛半径、收敛域及和函数.

解析　由于an+2+an+1=3（an+1+an），令bn=an+1+an，则

bn+1=3bn=32bn-1=…=3nb1=3n·2

考察

由此可得，于是

其中|x|＜1且|3x|＜1，故所求级数收敛半径为R=，收敛域为和函数为

例7.45（北京市1995年竞赛题）　已知a1=1，a2=1，an+1=an+an-1（n=2，3，…），试求级数的收敛半径与和函数.

解析　令bn=则b1=1，b2=，bn+1=.假设｛bn｝收敛，令bn→A（n→∞），则A=⇒A2+A-1=0⇒A=由于bn＞0，故A=

下面来证明=A.由于1-A=A2，0＜A＜1，故有

且=0，所以=A.级数的收敛半径

令原级数的和函数为S（x），由an+1=an+an-1可知an+2=an+1+an，则an=an+2-an+1，于是

可得

综上所述，收敛半径R=和函数为

例7.46（精选题）　设an是曲线y=xn与y=xn+1（n=1，2，…）所围区域的面积，记，求S1与S2的值.

解析　根据题意有

由于an=收敛，所以级数S1收敛；由于a2n-1=，而收敛，所以级数S2收敛.有

由于级数显然是收敛的，所以加括号的级数也收敛，且

由于=-ln（1+x），收敛域为（-1，1］，所以=-ln（1+1）=-ln2，于是