判别任意项级数的敛散性—例题分析

例7.17（北方工业大学1999年竞赛题）　若级数收敛，级数也收敛，证明：级数绝对收敛.

解析　由收敛，故其部分和数列

Sn=a1-a0+a2-a1+…+an-an-1=an-a0

收敛（当n→∞），于是存在A使=A，且存在M∈R+，使得|an|≤M.所以|anbn|≤M|bn|，根据比较判别法得绝对收敛.

例7.18（广东省1991年竞赛题）　试判断级数是否收敛.若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？

解析　令an=，则

显见an→0（n→∞），且数列｛an｝单调减（n=2，3，…）.应用莱布尼兹判别法，得收敛.因为

且发散，所以原级数非绝对收敛.故原级数条件收敛.

例7.19（江苏省2006年竞赛题）　对常数p，讨论级数

何时绝对收敛、何时条件收敛、何时发散.

解析　令an=则

故当收敛，则原级数绝对收敛；当p+≤（1即p≤发散，则原级数非绝对收敛.

当时显然an→0（n→∞）.令

由于

且xp-1＞0，＞0，而

所以x充分大时f（x）单调增，于是n充分大时，单调减少，应用莱布尼兹判别法推知-＜p≤时原级数条件收敛.

当，故p≤-时原级数发散.

例7.20（全国大学生2013年决赛题）　若对于任意的趋向于0的序列｛xn｝，级数都是收敛的，试证：级数收敛.

解析　（用反证法）设级数发散，记，则于是存在单调增加的正整数数列｛nk｝（k=1，2，…），使得≥k（k=2，3，…）.取

则=0.由于

所以级数发散，此与题设条件矛盾.所以级数收敛.

例7.21（江苏省1998年竞赛题）　设a0=0，an+1=n=0，1，2，…，讨论级数是绝对收敛、条件收敛还是发散.

解析　a0=0，a1=，归纳设0≤an-1＜an⇒2+an-1＜2即an＜an+1，数列｛an｝单调增.又a1＜2，归纳设an＜2，则＜2，即an+1＜2，所以数列｛an｝有上界.据单调有界准则得｛an｝收敛.令，则有A=，解得A=2.于是

令bn=由于

据比值判别法得收敛，即原级数绝对收敛.

例7.22（江苏省2012年竞赛题）　已知级数为条件收敛，求常数k的取值范围.

解析　令an=因为

所以，当1-k＞1，即k＜0时，原级数绝对收敛；当1-k≤1，即k≥0时，原级数非绝对收敛.

当k≥1时，因为

所以，k≥1时原级数发散.

当0≤k＜1时，因为为单调减少，应用莱布尼兹判别法得原级数收敛.

综上，当0≤k＜1时原级数条件收敛.

例7.23（江苏省1996年竞赛题）　设级数条件收敛，极限=r存在，求r的值，并举出满足这些条件的例子.

解析　因级数条件收敛，故该级数不可能为正项级数或负项级数.由

（1）若|r|＜1，则由比值判别法推得收敛，此与条件矛盾，故|r|≥1.

（2）若|r|＞1，则由推知n充分大时数列｛|an|｝单调增，故，此与条件矛盾，故|r|=1，即r=1，-1.(https://www.xing528.com)

（3）若r=1，则由，推知n充分大时，an与an+1同为正值或同为负值，此不可能.

综上得r=-1.

例如级数为条件收敛，且

例7.24（江苏省1996年竞赛题）　讨论级数的敛散性（p为常数）.

解析　当p=时，原式=由于此为交错级数单调减少且收敛于0，由莱布尼兹判别法得p=时原级数收敛.

当p≤0时，原级数的通项所以原级数发散.

当p＞时，考虑加括号（两项一括）的级数

由于n→∞时同阶，而同阶发散，所以p＞时，加括号的级数（1）发散，因而原级数也发散.

当0＜p＜时，考虑如下加括号的级数

由于n→∞时，（在p＜）时与同阶，而同阶，发散，所以0＜p＜时，加括号的级数（2）发散，因而原级数也发散.

综上所述，原级数仅当p=时收敛.

例7.25（全国大学生2011年决赛题）　设函数f（x）是区间（-∞，+∞）上的可微函数，|f′（x）|＜mf（x），其中0＜m＜1.任取实数a0，定义an=lnf（an-1），n=1，2，…，证明：绝对收敛.

解析　对函数F（x）=lnf（x），在以an-1，an-2为端点的区间上应用拉格朗日中值定理，得F（an-1）-F（an-2）=F′（ξ）（an-1-an-2），即

则

|an-an-1|≤m|an-1-an-2|≤m2|an-2-an-3|≤…≤mn-1|a1-a0|

由于0＜m＜1时，几何级数收敛，因此应用比较判别法可得级数收敛，即绝对收敛.

例7.26（精选题）　设f（x）在（-∞，+∞）上有定义，在x=0的邻域内f有连续的导数，且=a＞0，讨论级数的敛散性.

解析　由于=a＞0，所以x→0时，f（x）～ax而级数发散，故级数非绝对收敛.由条件可得f（0）=0，又

且a＞0，因f′（x）在x=0连续，所以存在x=0的某邻域U，其内f′（x）＞0，因而在U中f（x）严格增，于是当n充分大时，有

即单调减，且=f（0）=0，应用莱布尼兹法则即得原级数条件收敛.

例7.27（南京工业大学2009年竞赛题）　证明：级数1时条件收敛.

解析　令，因0＜λ≤1时发散，所以发散，原级数非绝对收敛.

令f（x）=则f′（x）=＜0（x＞时），所以n＞时，｛an｝单调减少.又0＜λ≤1时=0，应用莱布尼兹判别法，原级数收敛.故原级数条件收敛.

例7.28（江苏省2002年竞赛题）　设k为常数，试判别级数的敛散性，何时绝对收敛？何时条件收敛？何时发散？

解析　记an=当k＞1时，因为

而级数收敛，所以k＞1时收敛，故原级数在k＞1时绝对收敛.

当k=1时，因为

故级数的部分和有上界，所以k=1时收敛，故原级数在k=1时绝对收敛.

当k＜1时，因为

而发散，所以k＜1时原级数非绝对收敛.

当0≤k＜1时，｛an｝单调减，且

应用莱布尼兹判别法得原级数在0≤k＜1时条件收敛.

当k＜0时，因为

所以k＜0时原级数发散.

综上得：k≥1绝对收敛，0≤k＜1时条件收敛，k＜0时发散.