例6.10（江苏省1998年竞赛题） 已知直线l过点M（1，-2，0）且与两条直线垂直，则l的参数方程为_________________.
解析 直线l1的方向向量为l1=（2，0，1）×（1，-1，3）=（1，-5，-2），直线l2的方向向量为l2=（1，-4，0），则直线l的方向向量为l=（1，-5，-2）×（1，-4，0）=-（8，2，-1），其参数方程为x=1+8t，y=-2+2t，z=-t.
例6.11（全国大学生2010年初赛题） 求下列两条直线
之间的距离.
解析 直线l1过点O（0，0，0），A（1，1，0），其方向向量为l1=
=（1，1，0）；直线l2过点P（2，1，3），其方向向量为l2=（4，-2，-1）.这两条直线的公垂线的方向向量为
l=（4，-2，-1）×（1，1，0）=（1，-1，6）
于是两条直线的距离为
例6.12（江苏省2008年竞赛题） 点（2，1，-1）关于平面x-y+2z=5的对称点的坐标为________.
解析 设点A（2，1，-1）关于平面x-y+2z=5的对称点为B，AB与平面的交点记为Q，直线的方向向量等于该平面的法向量（1，-1，2），所以直线AB的参数方程为
x=2+t，y=1-t，z=-1+2t
代入平面方程得2+t-1+t-2+4t=5，解得t=1，于是点Q的坐标为（3，0，1）.因Q是A，B的中点，所以B的坐标为
（2×3-2，2×0-1，2×1-（-1））=（4，-1，3）
例6.13（江苏省2004年竞赛题） 已知点P（1，0，-1）与Q（3，1，2），试在平面x-2y+z=12上求一点M，使得|PM|+|MQ|最小.(www.xing528.com)
解析 显然，点P，Q在已知平面的同侧.从P作直线l垂直于平面，l的方程为
x=1+t，y=-2t，z=-1+t
代入平面方程解得t=2，所以直线l与平面的交点为P0（3，-4，1）（如图所示），而P关于平面的对称点为P1（5，-8，3）.连接P1Q，其方程为
x=3+2t，y=1-9t，z=2+t
代入平面方程解得t=
于是所求点M的坐标为
例6.14（江苏省2008年竞赛题） 在平面Π：x+2y-z=20内作一直线Γ，使直线Γ过另一直线L ：
与平面Π的交点，且Γ与L垂直，求直线Γ的参数方程.
解析 直线L的方向向量为l=（1，-2，2）×（3，1，-4）=（6，10，7），且直线L上有一点（1，0，0），所以直线L的参数方程为x=1+6t，y=10t，z=7t，代入平面方程解得t=1，所以直线L与平面Π的交点为（7，10，7）.平面Π的法向量为n=（1，2，-1），所求的直线Γ的方向向量为l1=l×n=（6，10，7）×（1，2，-1）=-（24，-13，-2），于是所求直线Γ的参数方程为
x=7+24t，y=10-13t，z=7-2t
例6.15（江苏省1996年竞赛题） 设直线
在平面z=1上的投影为直线L，则点（1，2，1）到直线L的距离等于________.
解析 取平面束
x+2y-3z-2+λ（2x-y+z-3）=0
其法向量为n1=（1+2λ，2-λ，-3+λ），平面z=1的法向量为n2=（0，0，1），因n1⊥n2，所以n1·n2=λ-3=0，得λ=3.故投影平面的方程为7x-y-11=0.因而投影直线L的方程为
其方向向量为l=（7，-1，0）×（0，0，1）=-（1，7，0）.又L通过点P1（1，-4，1），于是点P0（1，2，1）到直线L的距离为
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