高等数学竞赛题解：应用格林公式解题

例5.45（江苏省1998年竞赛题）　若φ（y）的导数连续，φ（0）=0，曲线的极坐标方程为ρ=a（1-cosθ），其中a＞0，0≤θ≤π，A与B分别对应于θ=0与θ=π，求［φ（y）ex-πy］dx+［φ′（y）ex-π］dy.

解析　设曲线与线段所围区域为D（如上图所示），又设

P=φ（y）ex-πy，Q=φ′（y）ex-π

应用格林公式，有

由于，于是

例5.46（全国大学生2012年决赛题）　设连续可微函数z=z（x，y）由方程F（xz-y，x-yz）=0（其中F（u，v）有连续的偏导数）惟一确定，L为正向单位圆周，试求

解析　记f（x，y，z）=F（xz-y，x-yz），应用隐函数方程求偏导数公式有

记P=-（2xz+yz2），Q=xz2+2yz，单位圆包围的区域记为D，应用格林公式有

例5.47（江苏省2006年竞赛题）　已知Г是y=asinx（a＞0）上从（0，0）到（π，0）的一段曲线，a=_______________时，曲线积分∫Г（x2+y）dx+（2xy +）dy取最大值.

解析　设Г与所围区域为D（如图所示），在D上应用格林公式，记P=x2+y，Q=2xy+，则

令=2-aπ=0得惟一驻点a=，由于，所以为极大值，即最大值，故a=

例5.48（江苏省2008年竞赛题）　设Γ为x2+y2=2x（y≥0）上从O（0，0）到A（2，0）的一段弧，连续函数f（x）满足

f（x）=x2+∫Γy［f（x）+ex］dx+（ex-xy2）dy

求f（x）.

解析　设∫Γy［f（x）+ex］dx+（ex-xy2）dy=a，则f（x）=x2+a，记Γ与包围的区域为D，应用格林公式，有

解得a=于是f（x）=x2+

例5.49（北京市1996年竞赛题）　设函数f（x，y）在区域D：x2+y2≤1上有二阶连续偏导数，且，证明

解析　运用极坐标变换，有

其中可看作沿半径为ρ（0≤ρ≤1）的圆周L的逆向的曲线积分.因x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以dx=-ρsinθdθ，dy=ρcosθdθ.记D是半径为ρ的圆域，应用格林公式，上述积分化为

例5.50（精选题）　求曲线积分∫Γ|y-x|dy+zdz，其中Γ为

其方向与z轴正方满足右手法则.

解析　曲线Γ的方程可写为

将Γ的位于y=x上方的部分记为Γ1，位于y=x下方的部分记为Γ2，Γ与y=x的交点记为A，B（如图）.将Γ所围的圆域用分为D1与D1，则

例5.51（江苏省1996年竞赛题）　计算曲线积分

（1）C是正向圆周（x-a）2+（y-a）2=a2；

（2）C是正向曲线|x|+|y|=1.

解析　记P=，则

（1）设D1：（x-a）2+（y-a）2≤a2，P，Q在D1内偏导数连续，应用格林公式，有

（2）设D2：|x|+|y|≤1，P和Q在D2内偏导数不连续，故不能应用格林公式.在C内作圆Г：x2+y2=，取负向.

设C与Г包围的区域为D3（如图所示），在区域D3上应用格林公式，有

由Γ的参数方程x=εcosθ，y=εsinθ，得(www.xing528.com)

例5.52（精选题）　已知P（x，y）=（1）求常数a和λ，使得∫LPdx+Qdy在区域D=｛（x，y）|x2+y2＞0｝上与路径无关；（2）求Pdx+Qdy在D中的原函数.

解析　（1）在区域D上，P，Q∈C（1），由于曲线积分与路径无关的充要条件是=，而

所以λ-1=1，4λ=2a，即λ=2，a=4，此时

（2）令Pdx+Qdy=du，则=P，=Q，于是

代入=Q得

即φ′（y）=0.取φ（y）=C，得所求的原函数为u=+C.

例5.53（江苏省2004年竞赛题）　设f（x）连续可导，f（1）=1，G为不包含原点的单连通域，任取M，N∈G，在G内曲线积分与路径无关.

（1）求f（x）；

（2）求，其中Г为，取正向.

解析　记P（x，y）=，因为在G内曲线积分与路径无关，所以∀（x，y）∈G，有即

由此推得yf′（y）=2f（y），又f（1）=1，解此变量可分离的微分方程得f（y）=y2.于是f（x）=x2.

取小椭圆Гε：2x2+y2=ε2，取正向，ε为充分小的正数，使得Гε位于Г的内部.设Г与Гε所包围的区域为D.在D上，P和Q的一阶偏导数连续，且，应用格林公式得

这里为负向（即顺时针方向），于是

例5.54（莫斯科钢铁与合金学院1976年竞赛题）　计算曲线积分

其中u=ax+by，v=cx+dy（ad-bc≠0），L为xy平面上环绕坐标原点的单闭曲线，取逆时针方向.

解析　将u=ax+by，v=cx+dy代入原式得

记P=，则

由于（u，v）=（0，0）⇔（x，y）=（0，0），所以在（x，y）≠（0，0）的区域上，曲线积分与路线无关.在单闭曲线L内部取椭圆Г：（ax+by）2+（cx+dy）2=ρ2（逆时针方向），ρ＞0充分小，则

这里D为椭圆Г包围的区域.对上式右边的二重积分作换元变换，令u=ax+by，v=cx+dy，则

于是

这里±的选取是当ad-bc＞0时取正号，当ad-bc＜0时取负号.

例5.55（莫斯科电气学院1976年竞赛题）　设P（x，y），Q（x，y）在全平面上具有连续的一阶偏导数，沿着平面上的任意半圆周L：y=y0+曲线积分∫LP（x，y）dx+Q（x，y）dy=0，其中x0，y0为任意实数，R为任意正实数，求证：（1）P（x，y）≡0；（2）≡0.

解析　（1）∀（x0，y0）∈R2，∀R＞0，以（x0，y0）为圆心，以R为半径作上半圆周L，取逆时针方向，起点为A（x0-R，y0），终点为B（x0+R，y0），则

对（1）式右端应用积分中值定理，∃（ξ，η）∈D，有

对（1）式左端有

对此式右端应用定积分中值定理，∃c∈（x0-R，x0+R），有

将（2）式与（3）式代入（1）式得

令R→0，此时c→x0，（ξ，η）→（x0，y0），得P（x0，y0）=0，由（x0，y0）∈R2的任意性，即得P（x，y）≡0.

（2）（反证法）假设∃（a，b）∈R2，使得（a，b）＞0（或＜0）.由于Q∈C（1）（R2），所以∃（a，b）的邻域U，使得|（x，y）∈U＞0（或＜0），在邻域U内取上半圆周L，则

此为矛盾式，故有≡0.