高等数学竞赛题解析教程：交换二次积分的次序示例

例5.17（江苏省2000年竞赛题）　交换二次积分的次序：f（x，y）dy=________.

解析　由x=0，x=1，y=x2，y=3-x所围的积分区域如图所示，则交换积分次序得

例5.18（江苏省2012年竞赛题）　交换二次积分的顺序.

解析　由x=0，x=，y=0，y=2cosx所围的积分区域如右图所示，交换积分顺序得

例5.19（精选题）　设f（x）连续可导，a＞0，求

解析　交换二次积分的次序，有

例5.20（江苏省2004年竞赛题）　求二次积分

解析　如右图，在（θ，ρ）平面上交换积分次序，有

例5.21（北京市1996年竞赛题）　设f（x）为连续偶函数，试证明：

其中D为正方形|x|≤a，|y|≤a（a＞0）.

解析　根据题意，有

参看下图，变换积分顺序，上式化为

因为f（x）为偶函数，有

故

例5.22（北京市1994年竞赛题）　设f（x，y）是定义在区域0≤x≤1，0≤y≤1上的二元函数，f（0，0）=0，且在点（0，0）处f（x，y）可微，求极限

解析　交换积分次序，有

应用洛必达法则与积分中值定理，则

由于f（x，y）在（0，0）处可微，f（0，0）=0，及ξ（x）=o（x），所以

因此

例5.23（江苏省2008年竞赛题）　求

解析　交换积分次序，有(www.xing528.com)

两次应用洛必达法则和积分变换，则

例5.24（精选题）　设x≥0，f0（x）＞0，若fn（x）=（t）dt（n=1，2，3，…），求证：

解析　用数学归纳法证明.当n=1时

所以（＊）1成立.假设（＊）k成立，即

则

所以（＊）k+1成立，因此（＊）n对任意正整数n成立.

例5.25（精选题）　设f（x）连续，D=求证

解析　二重积分化为二次积分得

对于含参数y的定积分f（x-y）dx，令x-y=t，则

将（2）式代入（1）式得

交换（3）式右端二次积分的次序，有

例5.26（精选题）　设D：x2+y2≤1，f（x，y）在D上连续.

（1）求证：

（2）求

解析　（1）作换元变换，令x=u，y=v，则D化为D1：u2+v2≤1，有

对上式右端的二重积分再作换元变换，令u=y，v=x，则D1化为D：y2+x2≤1，有

于是原式成立.

（2）利用（1）的结论得

于是