高等数学竞赛题解：二重积分计算

例5.1（浙江省2011年竞赛题）　计算

解析　化为先对y后对x的二次积分计算，有

例5.2（江苏省2004年竞赛题）　设f（x）=且D为-∞＜x＜+∞，-∞＜y＜+∞，则=_______________________.

解析　由于

故在区域D1=｛（x，y）|-y≤x≤1-y，0≤y≤1｝（如下图所示）上f（y）=y，f（x+y）=x+y；在D1的外部f（y）=0，f（x+y）=0.于是

例5.3（南京工业大学2009年竞赛题）　求

解析　记D为x+y=t（t＞0）与x轴、y轴所围的区域，则

由于在区域D上连续，应用二重积分中值定理，有

这里（ξ，η）∈D，于是

例5.4（天津市2003年竞赛题）　计算

其中0＜a＜b，0＜φ＜，且a，b，φ均为常数.

解析　原式中两项分别表示函数在图中D1与D2区域上的两次积分，D=D1+D2，化为极坐标计算，有

注：原题中将积分下限ycotφ错写为ytanφ.

例5.5（江苏省2012年竞赛题）　计算二重积分其中D为｛（x，y）|x2+y2≤2x｝.

解析　曲线x2+y2=2x的极坐标方程为ρ=2cosθ，区域D关于y=0对称，2x3y关于y=0为奇函数，x2（x2+y2）关于y=0为偶函数，应用奇偶对称性，得

其中D（y≥0）：0≤ρ≤2cosθ，0≤θ≤由于

因此又因为所以

故原式=

例5.6（北京市1992年竞赛题）　设函数f（x）连续，f（0）=1，令

求F″（0）.

解析　首先采用极坐标替换，有

由于f（x）连续，于是F′（t）=2πtf（t2）（t＞0），且

因此

例5.7（江苏省2000年竞赛题）　试计算二重积分其中积分区域D为正方形区域|x|≤1，0≤y≤2.

解析　如图，用y=x2将积分区域分割为D1与D2，则

例5.8（江苏省2002年竞赛题）　求其中D：x≥0，y≥0，x+y≤(www.xing528.com)

解析　如图，用直线y=x将区域D分割为D1与D2，则在D1上0≤x-y≤，在D2上-≤x-y≤0，于是

例5.9（南京大学1996年竞赛题）　计算二重积分其中D为x2+y2≤2ax，x2+y2≥ax.

解析　曲线x2+y2=2ax的极坐标方程为ρ=2acosθ，曲线x2+y2=ax的极坐标方程为ρ=acosθ（如图所示），D关于y=0对称，2xy关于y为奇函数，所以

故

例5.10（江苏省2006年竞赛题）　设D为y=x，x=，y=0所围的平面图形，求

解析　用x+y=将D分为D1+D2（如图所示），则

例5.11（全国大学生2013年决赛题）　求二重积分

解析　在圆D：x2+y2≤1内作圆x2+y2-xy=0，即

使其分为D1与D2（如图），由于圆D1在原点处的切线是第Ⅱ，Ⅳ象限的角平方线，于是

例5.12（全国大学生2009年初赛题）　计算其中区域D为直线x+y=1与两坐标轴所围的三角形区域.

解析　运用极坐标计算，记φ（θ）=cosθ+sinθ，则

例5.13（莫斯科技术物理学院1977年竞赛题）　设Г为圆x2+y2=4，现引入函数ρ（x，y），其绝对值等于点（x，y）到曲线Г的距离，其符号按下列方法确定：当点（x，y）在圆Г的内部时取负号，当点（x，y）在圆Г的外部时取正号.已知常数a：0＜a＜2，求二重积分

解析　设（ρ，θ）为点（x，y）的极坐标，且

则当（x，y）∈D时，ρ（x，y）=ρ-2，于是

例5.14（江苏省2002年竞赛题）　设f（u）在u=0可导，f（0）=0，D：x2+y2≤2tx，y≥0，求

解析　首先采用极坐标计算二重积分，有

于是

例5.15（浙江省2010年竞赛题）　计算其中0≤ρ＜1.

解析　运用二重积分换元积分法，令x=t+s，y=t-s，则雅可比行列式J=-2，面积微元为dxdy=|J|dtds=2dtds，于是

再运用换元积分法，令t=则面积微元为dtds=并采用极坐标计算，有

例5.16（全国大学生2014年决赛题）　设其中

D=｛（x，y）0≤x≤1，0≤y≤1｝

函数f（x，y）在D上有连续的二阶偏导数.若对任何x，y有f（0，y）=f（x，0）=0，且，证明：I≤

解析　将二重积分化为二次积分，再分部积分得