2016高数竞赛曲面积分基本概念与计算详解

1）第一型曲面积分的定义与性质

设Σ为空间的有界曲面，函数f（x，y，z）在Σ上定义，将Σ任意地分割为n个小曲面Σi（i=1，2，…，n），Σi的面积为ΔSi，Σi的直径为di，λ=，在Σi上任取点（xi，yi，zi），则函数f沿Σ的第一型曲面积分定义为

这里右端的极限存在，且与分割Σ的方式无关，与点（xi，yi，zi）的取法无关.

当f（x，y，z）在Σ上连续时，f在Σ上的第一型曲面积分存在，即可积.

定理（奇偶函数在对称曲面上的积分）

（1）若曲面Σ的点关于x=0对称，f在Σ上可积，则

这里Σ1是Σ的x≥0的部分曲面.

（2）若曲面Σ的点关于y=0对称，f在Σ上可积，则

这里Σ2是Σ的y≥0的部分曲面.

（3）若曲面Σ的点关于z=0对称，f在Σ上可积，则

这里Σ3是Σ的z≥0的部分曲面.

2）第一型曲面积分的计算

若曲面Σ的方程为z=z（x，y），（x，y）∈D，D为xy平面上的有界闭域，函数z（x，y）在D上连续可微，函数f（x，y，z）在Σ上连续，则

若曲面Σ的方程为x=x（y，z），（y，z）∈D1，D1为yz平面上的有界闭域，函数x（y，z）在D1上连续可微，函数f（x，y，z）在Σ上连续，则

若曲面Σ的方程为y=y（z，x），（z，x）∈D2，D2为zx平面上的有界闭域，函数y（z，x）在D2上连续可微，函数f（x，y，z）在Σ上连续，则(www.xing528.com)

3）第二型曲面积分的定义

设Σ为光滑的双侧曲面，Σ某侧的单位法向量为（cosα，cosβ，cosγ），将函数P（x，y，z），Q（x，y，z），R（x，y，z）在Σ上定义，并将Σ任意地分割为n个小曲面Σi（i=1，2，…，n），Σi的面积为ΔSi，Σi的直径为di，λ=在Σi上任取点Mi（xi，yi，zi），记

ΔyiΔzi=ΔSicosαi，ΔziΔxi=ΔSicosβi，ΔxiΔyi=ΔSicosγi

则函数P，Q，R沿Σ的某侧的第二型曲面积分定义为

式中三个极限皆存在，且与分割Σ的方式无关，与点（xi，yi，zi）的取法无关.

当函数P，Q，R皆在Σ上连续时，对应的第二型曲面积分存在，即可积.

4）第二型曲面积分的计算

（1）若曲面Σ的方程为z=z（x，y），（x，y）∈D1，D1为xy平面上的有界闭域，z（x，y）在D上连续可微，则

这里±号选取的方法是上侧取正，下侧取负（设z轴正向向上）.

（2）若曲面Σ的方程为x=x（y，z），（y，z）∈D2，D2为yz平面上的有界闭域，x（y，z）在D2上连续可微，则

这里±号选取的方法是前侧取正，后侧取负（设x轴正向向前）.

（3）若曲面Σ的方程为y=y（z，x），（z，x）∈D3，D3为zx平面上的有界闭域，y（z，x）在D3上连续可微，则

这里±号选取的方法是右侧取正，左侧取负（设y轴正向向右）.