高等数学竞赛题解析教程2016:三重积分概念与计算

1）三重积分的定义：设f（x，y，z）在空间的有界闭域Ω上定义，任意地将Ω分割为n个小区域Ωi（i=1，2，…，n），Ωi的体积为Δvi，Ωi的直径为di，λ=∀（xi，yi，zi）∈Ωi，则三重积分定义为

这里右端的极限存在，且与分割Ω的方式无关，与点（xi，yi，zi）的取法无关.

2）当f（x，y，z）在闭域Ω上连续时，f（x，y，z）在Ω上可积.

3）三重积分的主要性质：三重积分与二重积分一样，保向性、可加性、积分中值定理皆成立，在这里不一一赘述.

定理（奇偶对称性）

（1）若有界闭域Ω关于x=0对称，f（x，y，z）在Ω上可积，则

这里Ω1是Ω的子域，是Ω中x≥0的部分.

（2）若有界闭域Ω关于y=0对称，f（x，y，z）在Ω上可积，则

这里Ω2是Ω的子域，是Ω中y≥0的部分.

（3）若有界闭域Ω关于z=0对称，f（x，y，z）在Ω上可积，则

这里Ω3是Ω的子域，是Ω中z≥0的部分.

4）三重积分的计算

（1）在直角坐标下，将三重积分化为先计算一个定积分再计算一个二重积分(www.xing528.com)

若闭域Ω在xy平面上的投影为有界闭域D，∀（x，y）∈D，若区域Ω中的点（x，y，z）满足φ1（x，y）≤z≤φ2（x，y），则

类似的，有先对y计算一个定积分再计算一个二重积分的公式，或先对x计算一个定积分再计算一个二重积分的公式.

（2）在直角坐标下，将三重积分化为先计算一个二重积分再计算一个定积分

若闭域Ω在z轴上的投影为闭区间［c，d］，∀z∈［c，d］，过点（0，0，z）作平面Π垂直于z轴，若平面Π与闭域Ω的截面为有界闭域D（z），则

类似的，有先对y，z计算一个二重积分后对x计算一个定积分的公式，或先对z，x计算一个二重积分后对y计算一个定积分的公式.

（3）利用柱面坐标计算三重积分

令x=ρcosθ，y=ρsinθ，z=z，这里θ，ρ，z为新的积分变量，则

这里Ω′是区域Ω在上述变换下（θ，ρ，z）在θρz空间对应的闭域，其中ρ≥0，0≤θ≤2π，-∞＜z＜+∞.

（4）利用球面坐标计算三重积分

令x=rsinφcosθ，y=rsinφsinθ，z=rcosφ，这里r，φ，θ是新的积分变量，则

这里Ω′是区域Ω在上述变换下（r，φ，θ）在rφθ空间对应的闭域，其中r≥0，0≤φ≤π，0≤θ≤2π.