高等数学竞赛题解析教程2016：求二元函数极值

例4.31（江苏省2000年竞赛题）　已知函数f（x，y）=e2x（x+y2+2y），其在点处取（　）

A.极大值-　B.极小值-　C.不取得极值　D.极小值e

解析　由

解得驻点为Δ=B2-AC=-4e2＜0，又A＞0，所以为极小值.故选B.

例4.32（江苏省2006年竞赛题）　函数f（x，y）=e-x（ax+b-y2）中常数a，b满足条件_______________时，f（-1，0）为其极大值.

解析　应用二元函数取极值的必要条件得

所以b=2a.由于

令Δ＜0，A＜0，解得a＞0，b=2a为所求条件.当a＜0时推得Δ＞0，此时函数f在（-1，0）不取极值；当a=0，b=0时推得Δ=0，此时f（x，y）=-y2e-x≤f（-1，0）=0，故f（-1，0）也是极大值.于是a≥0，b=2a为所求.

例4.33（南京大学1993年竞赛题）　求曲线的距离.

解析　设A（p，q，r）与B（u，v，w）分别为两曲线上的任意点，F为A，B两点距离的平方，于是

F=（p-u）2+（q-v）2+（r-w）2

由条件知r=q=0，u=3-2v，w=0，代入上式得

F=（p-3+2v）2+v2+p

由

可解得惟一驻点（p，v）=从几何意义知F的最小值存在，故在两曲线上对应的点与（1，1，0）之间的距离最小，其值为，即两曲线的距离为

例4.34（北京市1993年竞赛题）　求使函数

达到最大值的（x0，y0）以及相应的f（x0，y0）.

解析　方法1　记g（x，y）=lnf（x，y），则(www.xing528.com)

且g（x，y）与f（x，y）有相同的极大值点.由于

令=0，解得驻点（x1，y1）=，（x2，y2）=（a，-b）.

当y＞0时，因为

因Δ=-A1C1=-，故f（x，y）在点达到极大值，有在半平面y＞0上，f（x，y）可微，且驻点惟一，所以是f（x，y）在y＞0上的最大值.

当y＜0时，因为

同理可得f（a，-b）=是f（x，y）在y＜0上的最大值.

由于故是函数f（x，y）的最大值.

方法2　驻点（x1，y1）=，（x2，y2）=（a，-b）的求法同方法1.

当y≠0时，f（x，y）可微.∀c∈R，当（x，y）→（c，0）时，由于

其中t=，且y→0时，t→∞.令h（t）=，应用洛必达法则，有

所以，又显然），于是

例4.35（江苏省2010年竞赛题）　如图，ABCD是等腰梯形，BC∥AD，AB+BC+CD=8，求AB，BC，AD的长，使该梯形绕AD旋转一周所得旋转体的体积最大.

解析　令BC=x，AD=y（0＜x＜y＜8）^[2]，则AB=.设BE⊥AD，则

由

解得惟一驻点P（2，4），由于

又Δ=B2-AC=＜0，A＜0，所以x=2，y=4时V取最大值.于是AB=3，BC=2，AD=4为所求的值.