高数竞赛题解析教程：连续性、可偏导性与可微性

例4.3（江苏省2000年竞赛题）　若和都存在，则f（x，y）在（x0，y0）（　）

A.极限存在但不一定连续　B.极限存在且连续

C.沿任意方向的方向导数存在　D.极限不一定存在，也不一定连续

解析　应用二元函数在某点极限存在与可偏导之间无因果关系的结论，A，B皆错.C显见是错的，故选D.

例4.4（江苏省2008年竞赛题）　设

试讨论f（x，y）在（0，0）处的连续性、可偏导性、可微性.

解析　由于

所以（x，y）≠0=f（0，0），于是f（x，y）在（0，0）处不连续.

由于皆不存在，故f（x，y）在（0，0）处不可偏导.

由于连续性与可偏导性皆是可微性的必要条件，故f（x，y）在（0，0）处不可微.

例4.5（江苏省2002年竞赛题）　设

试讨论f（x，y）在点（0，0）的连续性、可偏导性与可微性.

解析　因有界，所以

故f（x，y）在（0，0）处连续.因为

所以f（x，y）在（0，0）处可偏导.

下面考虑可微性.令(www.xing528.com)

Δf（0，0）=f（x，y）-f（0，0）=（0，0）x+（0，0）y+ω

则ρ=→0+时

所以ω=o（ρ），故f（x，y）在（0，0）处可微.

例4.6（江苏省2006年竞赛题）　设

证明f（x，y）在（0，0）处可微，并求df（x，y）（0，0）.

解析　根据题意可得

令

因

所以f在（0，0）处可微，且df（x，y）（0，0）=dx-dy.

例4.7（江苏省2000年竞赛题）　已知z=uv，且x=eucosv，y=eusinv，求和

解析　由x=eucosv，y=eusinv解得

于是z=uv=ln（x2+y2）arctan，因此

例4.8（江苏省1996年竞赛题）　函数u=xy2z3在点（1，2，-1）处沿曲面x2+y2=5的外法向的方向导数为________.

解析　已知F=x2+y2-5，n=2（x，y，0），点P（1，2，-1），故曲面在点P的外法向的方向余弦为又因

于是