高等数学竞赛题解析教程：反常积分例题

例3.112（江苏省2000年竞赛题）　设

求常数a，b.

解析　原式左边应用洛必达法则，有

原式右边应用广义N-L公式，有

于是-（1+2b）=1，解得b=-，即a=1，b=-

例3.113（南京工业大学2009年竞赛题）　=____________.

解析　方法1　令=t，则x=2-，dx=-，故

方法2　原式=，令=t（2-x），则x==故

例3.114（南京大学1993年竞赛题）　=________.

解析　方法1　令x2=t，则

方法2　令x2=t，则原式=令

两边求导得

t3e-t=e-t［-at3+（3a-b）t2+（2b-d）t+d-e］

比较两边t的同次幂的系数得a=-1，b=-3，d=-6，e=-6，于是

例3.115（莫斯科矿业学院1977年竞赛题）　求反常积分

解析　令x=，则

于是

例3.116（全国大学生2009年初赛题）　求x→1-时与等价的无穷大量.

解析　当0＜x＜1时，考察，由于

所以

应用积分公式可得

由于x→1-时，-lnx=-ln（1+x-1）～-（x-1）=1-x，所以x→1-时

由（＊）式即得：当x→1-时，与等价的无穷大量为

例3.117（浙江省2005年竞赛题）　设f（x）在［-1，1］上2阶导数连续，求证：存在ζ∈（-1，1），使得

解析　令F（x）=xf（x），则F（x）在［-1，1］上2阶导数连续，且F（0）=0，F′（0）=f（0），F″（x）=2f′（x）+xf″（x），于是要证明（1）式，等价于证明存在ζ∈（-1，1），使得

下面用两种方法证明（2）式.

方法1　（1）设常数k满足令

则G′（x）=F（x）-f（0）x-kx2，G″（x）=F′（x）-f（0）-kx，G‴（x）=F″（x）-k.因G（0）=0，G（1）==0，应用罗尔定理，∃ξ1∈（0，1），使得G′（ξ1）=0；又因G′（0）=F（0）=0，应用罗尔定理，∃ξ2∈（0，ξ1），使得G″（ξ2）=0；又因G″（0）=F′（0）-f（0）=f（0）-f（0）=0，应用罗尔定理，∃ξ3∈（0，ξ2），使得G‴（ξ3）=0，即k=F″（ξ3）.于是(www.xing528.com)

（2）设常数L满足令

则H′（x）=-F（x）+f（0）x+Lx2，H″（x）=-F′（x）+f（0）+Lx，H‴（x）=-F″（x）+L.因H（0）=0，H（-1）==0，应用罗尔定理，∃η1∈（-1，0），使得H′（η1）=0；又因H′（0）=-F（0）=0，应用罗尔定理，∃η2∈（η1，0），使得H″（η2）=0；又因H″（0）=-F′（0）+f（0）=-f（0）+f（0）=0，应用罗尔定理，∃η3∈（η2，0），使得H‴（η3）=0，即L=F″（η3）.于是

将（3）和（4）两式相加得

（3）因为f″（x）在闭区间［-1，1］上连续，所以F″（x）在闭区间［-1，1］上连续.应用最值定理，记故应用介值定理，∃ζ∈（-1，1），使得于是有成立，代入（5）式得，即（2）式成立.

方法2　因为f″（x）在闭区间［-1，1］上连续，所以F″（x）在闭区间［-1，1］上连续，应用马克劳林公式，存在η（x）使得

其中η（x）介于0与x之间.于是

应用最值定理，记m=，则m≤F″（η（x））≤M，即

即应用介值定理，∃ζ∈（-1，1），使得F″（ζ）=，即，代入（6）式得，即（2）式成立.

例3.118（精选题）　设λ∈R，求证：

解析　作广义换元积分变换，令tanx=t，则

令cotx=t，则

故I1=I2.于是

例3.119（江苏省2006年竞赛题）　设f（x）在（-∞，+∞）上是导数连续的有界函数，|f（x）-f′（x）|≤1，求证：|f（x）|≤1，x∈（-∞，+∞）.

解析　方法1　∀x∈R，有

即|f（x）|≤1.

方法2　令F（x）=e-x［f（x）+1］，由题意-1≤f′（x）-f（x）≤1，所以

F′（x）=e-x［f′（x）-f（x）-1］≤0

因而F（x）单调减，故

而e-x＞0，故f（x）+1≥0，即f（x）≥-1.

令G（x）=e-x［f（x）-1］，由题意-1≤f′（x）-f（x）≤1，所以

G′（x）=e-x［f′（x）-f（x）+1］≥0

因而G（x）单调增，故

而e-x＞0，故f（x）-1≤0，即f（x）≤1.

综上，|f（x）|≤1.

例3.120（北京市1992年竞赛题）　求反常积分（a，b＞0）.

解析　化为二次积分并交换积分次序，有