高等数学竞赛题解析教程：积分等式证明

例3.108（精选题）　设f（x）在［a，b］上具有连续的2阶导数，且f′（a）=f′（b）=0，求证：∃ξ∈（a，b），使得

解析　令F（x）=，则F′（x）=f（x），F″（x）=f′（x），F‴（x）=f″（x），且F（a）=0，F″（a）=F″（b）=0.函数F（x）在x=a处的2阶泰勒展式为

这里ξ1介于a与x之间.令x=b得

这里a＜ξ2＜b.函数F（x）在x=b处的2阶泰勒展式为

这里η1介于x与b之间.令x=a得

这里a＜η2＜b.（1）式减（2）式，得

若f″（ξ2）=f″（η2），则ξ=ξ2或ξ=η2，代入（3）式即得原式；若f″（ξ2）≠f″（η2），由于f″（x）在［a，b］上连续，由最值定理，f″（x）在［a，b］上有最大值M与最小值m，则

再应用介值定理，∃ξ∈（a，b），使得

于是有

例3.109（精选题）　设函数f（x）在闭区间［a，b］上具有连续的2阶导数，求证：∃ξ∈（a，b），使得

解析　令F（x）=则F′（x）=f（x），F″（x）=f′（x），F‴（x）=f″（x），且F（a）=0.F（x）在x=处的2阶泰勒展式为

这里ξ1介于x与之间.在（1）式中令x=a，得

这里a＜ξ2＜在（1）式中令x=b，得

这里＜ξ3＜b.（3）式减去（2）式，得

由于f″（x）在［a，b］上连续，由最值定理，f″（x）在［ξ2，ξ3］上有最大值M与最小值m，则

再应用介值定理，∃ξ∈（ξ2，ξ3）⊂（a，b），使得

于是有(www.xing528.com)

例3.110（莫斯科民族友谊大学1977年竞赛题）　设函数f（x）在［0，1］上连续，求证

解析　因f（x）在［0，1］上连续，所以|f（x）|在［0，1］上连续，应用最值定理，∃x0∈［0，1］，使得

于是

因为|f（x）|在x0处连续，所以∀ε＞0，∃δ＞0，当x∈［α，β］（0≤α≤x0≤β≤1，β-α=δ）时，|f（x）|≥M-ε，于是

因=δ0=1，故∀ε＞0，∃N∈N，当n＞N时≥1-ε，于是n＞N时

由ε＞0的任意性，即得

例3.111（全国大学生2012年决赛题）

（1）求解微分方程

（2）如果y=f（x）为上述方程的解，证明

解析　（1）这是一阶线性非齐次方程，易于求得解为（过程从略）.

（2）对函数f（x）=ex2在区间［0，x］（0≤x≤1）上应用拉格朗日中值定理，必∃ξ∈（0，x），使得f（x）-f（0）=f′（ξ）x，即

于是

应用定积分的保号性，有

由于

再应用夹逼准则，得