例3.80(江苏省1994年竞赛题) 试证明
解析 当0<x<1时,且,所以
即
例3.81(浙江省2011年竞赛题) 设f:[0,1]→[-a,b]连续,且=ab,证明:
解析 由-a≤f(x)≤b,可得,于是
所以
展开得
将代入得
移项得
所以
例3.82(全国大学生2014年决赛题) 设f(x)是闭区间[0,1]上的连续函数,且满足,求函数f(x),使得取得最小值.
解析 应用柯西-施瓦兹不等式,有
由此可得,即的最小值为.因此,只要函数f(x)满足
故所求函数为f(x)=
例3.83(江苏省1998年竞赛题) 设函数f(x)在[0,2π]上导数连续,f′(x)≥0,求证:对任意正整数n,有
解析 由题意可得
因f′(x)≥0,故f(x)在[0,2π]上单调增,f(2π)≥f(0).于是
例3.84(江苏省2002年竞赛题) 设In=,求证:
解析 方法1 因为
由于∀x∈,tanx<1,所以数列{In}严格减,In+2<In.于是2In+2<In+In+2<2In,In>又
令n+2=k,则由上式得Ik<,即n≥2时In<
方法2 作积分变换,令tanx=t,则x=arctant,有
例3.85(精选题) 设f(x)在[a,b]上单调增加且连续,求证:
解析 令
这里a≤x≤b,则F(a)=0.由于
其中a<ξ<x,ξ是应用积分中值定理得到的,而f(x)在[a,b]上单调增,所以f(x)≥f(ξ),于是F′(x)≥0,故F(x)在[a,b]上单调增,F(b)≥F(a)=0,即
例3.86(莫斯科全苏大学生1976年竞赛题) 已知函数f(x)定义于[0,1]且单调减、可积,求证:∀α∈(0,1),有
解析 (这里没有f连续的条件,所以不能使用积分中值定理)由于f(x)单调减,故有
由此得
于是有
例3.87(南京大学1996年竞赛题) 设函数y=f(x)在[0,+∞)上连续,且严格增,f(0)=0,f-1是f的反函数,证明:对任意a>0,b>0,恒有
解析 (1)若f(a)≤b,首先从几何上由右图可看出
下面给出证明:
在(1)式右端第一个积分中,令x=f-1(y),则
在(1)式右端的第二个积分中,因f-1(y)严格增,故f-1(y)≥f-1(f(a))=a,得
将(2),(3)两式代入(1)式得
移项即得
(2)若f(a)>b,从几何上由右图可看出
=曲边梯形OAE的面积S1
=曲边梯形OFC的面积S2
S1+S2≥矩形OABC的面积ab
下面给出证明:
因f(a)>b,所以a>f-1(b),则
在(4)式右端的第一个积分中,令y=f(x),则
在(4)右端的第二个积分中,因f(x)≥b,所以
将(5),(6)两式代入(4)式得
移项即得
例3.88(莫斯科电气学院1976年竞赛题) 证明:sin(x2)dx>0.
解析 令x2=t,则
对于上式右端的第二项,令t-π=u,则
于是
由于0<t<π时>0,sint>0,并且
所以(*)式右端是常义定积分,且在(0,π)上连续,故
例3.89(莫斯科钢铁与合金学院1977年竞赛题) 求证:
解析 令x=sint,则
令x=cost,则
令f(t)=-sint-cost,则由f′(t)=-cost+sint=0⇒t=,又f″(t)=sint+cost>0,则为极小值,故f(t)>0,-sint>cost⇒sin(-sint)-sin(cost)>0,所以
即
例3.90(精选题) 已知函数f(x)在上连续(a>0),且f(x)≥0,,求证:.
解析 当-≤x≤a时
又f(x)≥0,所以(a-x),即
应用定积分的保向性,上式两边从-到a积分得
由此即得
例3.91(精选题) 设f(x)在[0,1]上连续,求证:(1)∃ξ∈[0,1],使得|f(ξ)|>4;(2)∃η∈[0,1],使得|f(η)|=4.
解析 (1)(反证法)设∀x∈[0,1],有|f(x)|≤4.由于
又
所以
于是|f(x)|≡4(0≤x≤1)⇒=4或=-4.而此与条件=0矛盾,故∃ξ∈[0,1],使得|f(ξ)|>4.
(2)因f∈C[0,1],故|f(x)|∈C[0,1].应用积分中值定理,∃λ∈(0,1),使得
于是|f(λ)|=0.对连续函数|f(x)|,因|f(λ)|=0,|f(ξ)|>4,应用介值定理,∃η∈[0,1],使得|f(η)|=4.
例3.92(南京大学1993年竞赛题) 证明:
解析 令x=+t,并应用奇函数在对称区间上积分的性质,有
代入原式左边,应用柯西-施瓦兹不等式得
例3.93(精选题) 设函数f(x)在[a,b]上可导,f′(x)在[a,b]上可积,且f(a)=f(b)=0,求证:∀x∈[a,b],有
解析 由于
所以∀x∈[a,b],有
两式相加得
即
例3.94(莫斯科铁路运输工程学院1975年竞赛题) 设函数f(x)在[0,2]上连续可导,f(0)=f(2)=1,|f′(x)|≤1,求证:1<<3.
解析 当0≤x≤1时,应用拉格朗日中值定理,有
f(x)=f(0)+f′(ξ)x=1+f′(ξ)x (0<ξ<x)
则1-x≤f(x)≤1+x.当1≤x≤2时,应用拉格朗日中值定理,有
f(x)=f(2)+f′(η)(x-2)=1+f′(η)(x-2) (x<η<2)
则x-1≤f(x)≤3-x.于是
上式中取不等号“<”,是因为不可能出现
的情况(此时f(x)在x=1处不可导).同样,有
上式中取不等号“>”,是因为不可能出现(www.xing528.com)
的情况(此时f(x)在x=1处不可导).
例3.95(浙江省2005年竞赛题) 证明:对任意连续函数f(x),有
解析 由于
|x-sin2x-f(x)|+|cos2x-f(x)|
≥|x-sin2x-f(x)-cos2x+f(x)|=|x-1|
所以
于是
例3.96(莫斯科大学1977年竞赛题) 设函数f(x)在[0,1]上连续可导,求证:
解析 (1)若f(x)在(0,1)上满足f(x)>0或f(x)<0,则
(2)若上述(1)不成立,应用零点定理知∃c∈(0,1),使得f(c)=0,且
这里x∈[0,1].于是
上式两边从0到1积分得
由(1)与(2)即得
例3.97(江苏省2008年竞赛题) 设f(x)在[a,b]上具有连续的导数,求证:
解析 方法1 应用积分中值定理,∃ξ∈(a,b),使得
因为=f(x)-f(ξ),所以∀x∈[a,b],有
于是
方法2 由f(x)在[a,b]上连续,可得|f(x)|在[a,b]上连续,根据最值定理,∃x0∈[a,b],使得|f(x0)|=|f(x)|.因为
于是
例3.98(南京大学1996年竞赛题) 设f(a)=0,f(x)在[a,b]上的导数连续,求证:
解析 应用拉格朗日中值定理,∃ξ∈(a,x),这里a<x≤b,使得
f(x)-f(a)=f′(ξ)(x-a)⇒|f(x)|≤M|x-a|
这里M=|f′(x)|(由于|f′(x)|在[a,b]上连续,所以|f′(x)|在[a,b]上有最大值M).上式两边从a到b积分得
即
例3.99(莫斯科大学1977年竞赛题) 设f(x)在[a,b]上连续可导,f(a)=f(b)=0,求证:
解析 因|f′(x)|在[a,b]上连续,应用最值定理,有
存在.∀x∈(a,b),则有
f(x)=f(a)+f′(ξ)(x-a)=f′(ξ)(x-a)
f(x)=f(b)+f′(η)(x-b)=f′(η)(x-b)
这里a<ξ<x,x<η<b.于是有
|f(x)|≤M(x-a),|f(x)|≤M(b-x)
∀x0∈(a,b),则
令u=-(a+b)x0+(a2+b2),则u′=2x0-(a+b).由u′=0得驻点x0=(a+b),又u″=2>0,所以为u的最小值.
由于(*)式对(a,b)中的任意x0皆成立,取x0=(a+b),即得
例3.100(北京市1990年竞赛题) 设函数f(x)在[a,b]上连续,且对于t∈[0,1]及x1,x2∈[a,b]满足
f(tx1+(1-t)x2)≤tf(x1)+(1-t)f(x2)
证明:
解析 令x=a+t(b-a),则有
所以
右边不等式得证.又令x=a+b-u,有
所以
左边不等式得证.
例3.101(北京市1990年竞赛题) 设f(x)是定义在区间[0,1]上的连续函数,且0<m≤f(x)≤M,对于x∈[0,1],证明:
解析 由于,故有
两边同时积分得
又
平方后得到
例3.102(北京市1996年竞赛题) 设f(x)是区间[0,1]上的连续可微函数,且当x∈(0,1)时,0<f′(x)<1,f(0)=0,证明:
解析 利用柯西-施瓦兹不等式有
从而左边不等式成立.构造
则F(0)=0,且
记G(x)=,则G(0)=0,且
G′(x)=2f(x)-2f(x)f′(x)=2f(x)(1-f′(x))
因为0<f′(x)<1,f(0)=0⇒f(x)严格增⇒f(x)>f(0)=0,于是G′(x)>0⇒G(x)严格增⇒G(x)>G(0)=0⇒F′(x)>0,从而F(x)严格增⇒F(1)>F(0)=0,即
从而右边不等式得证.
例3.103(精选题) 设f(x)二阶可导,f″(x)≥0,g(x)为连续函数,a>0,求证:
解析 f(x)在x=x0处的一阶泰勒展式为
这里ξ介于x与x0之间.令x=g(t),x0=,则
应用定积分的保向性,此式两边从0到a积分得
例3.104(精选题) 设函数f(x)在[a,+∞)上二阶可导,M1>0,M2>0,且|f(x)|≤M1,|f″(x)|≤M2,求证:∀x∈[a,+∞),有|f′(x)|≤
解析 ∀x0∈[a,+∞),f(x)在x=x0处的一阶泰勒展式为
这里ξ介于x与x0之间,所以
这里h=|x-x0|.令g(h)=,则
的惟一解为h0=,又因g″(h0)=>0,所以g(h)的最小值为g(h0)=于是
由x0∈[a,+∞)的任意性即得∀x∈[a,+∞),有|f′(x)|≤
例3.105(精选题) 设f(x)在[0,1]上2阶连续可导,f(0)=0,f(1)=0,且∀x∈(0,1)有f(x)≠0,求证
解析 由于f(x)在(0,1)上连续,且f(x)≠0,所以f(x)在(0,1)上不变号,不妨设∀x∈(0,1)有f(x)>0.应用最值定理,f(x)在[0,1]上有最大值,设
则
在[0,x0]与[x0,1]上分别应用拉格朗日中值定理,则∃α∈(0,x0)和β∈(x0,1),使得
f(x0)-f(0)=f′(α)x0,f(1)-f(x0)=f′(β)(1-x0)
即
于是
代入(*)式即得
例3.106(北京市1993年竞赛题) 求证:
解析 运用eu的马克劳林级数,有
由于n=2k+1(k=0,1,2,…)时,有
当n=2k(k=1,2,…)时,有
因此,由逐项积分有
从而有
得证.
例3.107(浙江省2006年竞赛题) 求最小的实数C,使得满足=1的连续函数f(x),都有
解析 因为
又取fn(x)=(n+1)xn,则有
而
因此C=2.
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