定积分在几何与物理中的应用

例3.68（南京大学1995年竞赛题）　下面的推导是错误的，请说明理由.

（1）因为

因此0=-1.

（2）已知椭圆的参数方程为x=2cosθ，y=sinθ，而ρ2=x2+y2，从而椭圆的面积为

解析　（1）错误在

正确的做法是

（2）错误在椭圆的极坐标方程为

ρ2=x2+y2=4cos2θ+sin2θ

正确的做法是将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入椭圆方程x2+y2=1，由此可得=1，解得椭圆的极坐标方程为

例3.69（莫斯科农业生产工程学院1977年竞赛题）　在y轴上过坐标为t（0≤t≤1）的点A作平行于x轴的直线AB，它与y=x2，x=1以及y轴所围阴影部分D1与D2（如图所示）的面积之和为S，求S的最大值与最小值.

解析　应用定积分，面积S为

由S′=-1=0，解得驻点t=，则

即t=1时S取最大值，t=时S取最小值

例3.70（江苏省2000年竞赛题）　过抛物线y=x2上一点（a，a2）作切线，问a为何值时所作切线与抛物线y=-x2+4x-1所围成的图形面积最小？

解析　由题意可得抛物线y=x2在（a，a2）处的切线方程为y-a2=2a（xa），即y=2ax-a2.令⇒x2+2（a-2）x+1-a2=0，设此方程的两个解为x1，x2（x1＜x2），则

x1·x2=1-a2

x1+x2=2（2-a）

设抛物线y=-x2+4x-1下方、切线上方图形的面积为S，则

令S′=0，解得惟一驻点a=1，且a＜1时S′＜0，a＞1时S′＞0，所以a=1为极小值点，即最小值点.于是a=1时切线与抛物线所围面积最小.

例3.71（江苏省2006年竞赛题）　已知曲线Г的极坐标方程

求该曲线在θ=所对应的点处的切线L的直角坐标方程，并求曲线Г、切线L与x轴所围图形的面积.

解析　曲线的参数方程为

又θ=时，故切线L的方程为

即令y=0，得如图所示，三角形OPB的面积为

曲边三角形OPA的面积为

于是所求图形的面积为

例3.72（精选题）　设函数f（x）在［a，b］上可导，且f（a）＞0，f′（x）＞0，求证：存在惟一的ξ∈（a，b），使得由y=f（x），x=b，y=f（ξ）所围的图形的面积与由y=f（x），x=a，y=f（ξ）所围的图形的面积之比为2010.

解析　因f′（x）＞0，所以y=f（x）的图形在［a，b］上严格增.右图所示两块阴影区域的面积分别为

作辅助函数

则

因F（x）在［a，b］上连续，应用零点定理，∃ξ∈（a，b），使得F（ξ）=0，即

由于

F′（x）=-f（x）-f′（x）（b-x）+f（x）-2010f′（x）（x-a）-2010f（x）+2010f（x）

=-f′（x）［（b-x）+2010（x-a）］＜0

所以F（x）在［a，b］上严格减，于是上述应用零点定理的ξ是惟一的.

例3.73（莫斯科电气学院1977年竞赛题）　点A位于半径为a的圆周内部，且离圆心的距离为b（0≤b＜a），从点A向圆周上所有点的切线作垂线，求所有垂足所围成的图形的面积.

解析　设圆周方程为x2+y2=a2，点A位于（b，0），在圆周上任取点P（x0，y0），过点P作圆的切线L，则L的方程为x0x+y0y=a2，这里（x，y）为L上点的流动坐标.过点A作L的垂线AQ，则直线AQ的参数方程为

x=b+x0t，y=y0t

将其代入L的方程，解得垂足Q所对应的参数为t=1-，于是垂足Q的坐标（x，y）为(www.xing528.com)

令x0=acost，y0=asint，代入上式得垂足Q的坐标（x，y）为

垂足Q的轨迹显见对称于x轴，它与x轴的交点为（-a，0）与（a，0）.于是所求图形的面积为

例3.74（江苏省2006年竞赛题）　现过点（1，5）作曲线Г：y=x3的切线L.（1）求L的方程；（2）求Г与L所围平面图形D的面积；（3）求图形D的x≥0的部分绕x轴旋转一周所得立体的体积.

解析　（1）设切点为（x0，），y′（x0）=，所以L的方程为

令x=1，y=5，代入上面的方程得，有惟一实根x0=-1，故切点为（-1，-1）.切线L的方程为y=3x+2.

（2）由解得x=-1，2，所求D的面积为

（3）所求体积为

例3.75（江苏省2012年竞赛题）　过点（0，0）作曲线Γ：y=e-x的切线L，设D是以曲线Γ、切线L及x轴为边界的无界区域.（1）求切线L的方程；（2）求区域D的面积；（3）求区域D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.

解析　（1）设切点为（a，e-a），则

L：y-e-a=-e-a（x-a）

用（0，0）代入，得a=-1，于是切线L的方程为

y=-ex

（2）因切点为（-1，e），故区域D的面积为

（3）

例3.76（精选题）　设D是由y=2x-x2与x轴所围的平面图形，直线y=kx将D分成两部分（如下图所示），若D1与D2的面积分别为S1与S2，S1∶S2=1∶7，求平面图形D1的周长以及D1绕y轴旋转一周的旋转体的体积.

解析　曲线y=2x-x2与直线y=kx的交点为O（0，0），A（2-k，k（2-k））（0＜k＜2），于是

由S1∶S2=1∶7，所以S2=7S1，即

由此解得k=1，于是点A的坐标为（1，1）.

区域D1的周长为

因为

所以

于是

区域D1绕y轴旋转一周的立体的体积为

例3.77（江苏省2004年竞赛题）　设D：y2-x2≤4，y≥x，x+y≥2，x+y≤4.在D的边界y=x上任取点P，设P到原点的距离为t，作PQ垂直于y=x，交D的边界y2-x2=4于Q.

（1）试将P，Q的距离|PQ|表示为t的函数；

（2）求D绕y=x旋转一周的旋转体体积.

解析　如图，沿y=x作坐标轴t，原点在O，则P在t轴上的坐标为t.在xy平面上P的坐标为，所以直线PQ的方程为

由

解得点Q的横坐标为，所以

所求旋转体体积为

例3.78（北京市1994年竞赛题）　设

求曲线y=f（x）与x轴所围成封闭图形的面积.

解析　根据题意可知

故f（x）为偶函数.所以曲线y=f（x）与x轴所围成封闭图形（如上图）的面积为

例3.79（江苏省1994年竞赛题）　设均匀细杆AB质量为M，长度为l，质量为m的质点C位于AB的延长线上，当质点C从距B点r1处移到距B点r2处（r1＞r2），求引力所作的功.

解析　如图，细杆位于x轴上区间［0，l］，质点C从x轴上坐标l+r1处移动到坐标为l+r2处.在细杆上取点x，x+dx，将细杆段［x，x+dx］视为质点D，质量为dx，位于x处.设质点C的坐标为u，则质点C在质点D的引力作用下从l+r1处移动到l+r2处所作的功为

于是质点C在细杆AB的引力作用下所作的功为