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利用定积分定义求极限:高等数学竞赛题解析教程答案

时间:2023-11-16 理论教育 版权反馈
【摘要】:例3.20(浙江省2007年竞赛题)设求:(1)(1)由于所以(2)由于所以例3.21(南京大学1995年竞赛题)求解析化为定积分计算,有例3.22(江苏省2006年竞赛题)已知f(x)=ax3,求解析化为定积分求极限,则例3.23(莫斯科国民经济学院1976年竞赛题)设f∈C[0,1],f(x)>0,求证:解析应用定积分的定义,有例3.24(莫斯科钢铁与合金学院1976年竞赛题)

利用定积分定义求极限:高等数学竞赛题解析教程答案

例3.20(浙江省2007年竞赛题) 设

求:(1)

(1)由于所以

(2)由于所以

例3.21(南京大学1995年竞赛题) 求

解析 化为定积分计算,有

例3.22(江苏省2006年竞赛题) 已知f(x)=ax3,求

解析 化为定积分求极限,则

例3.23(莫斯科国民经济学院1976年竞赛题) 设f∈C[0,1],f(x)>0,求证:

解析 应用定积分的定义,有

例3.24(莫斯科钢铁与合金学院1976年竞赛题) 求

解析 令

用放缩法,即

由定积分的定义,有

,所以

例3.25(南京大学1996年竞赛题) 已知(www.xing528.com)

求f′(0).

解析 当x≠0时,由于,记t=,则应用重要极限公式可得

当x=0时,应用定积分求极限,有

于是

例3.26(江苏省1996年竞赛题) 设

(1)讨论f(x)在x=0的可导性;

(2)求函数f(x)在[-π,π]上的最大值.

解析 (1)当x>0时

当x=0时

,显然1<a<.考虑级数,因为

这里bn=据比值判别法得级数收敛,由级数收敛的必要条件得

所以f(0)=1.当x<0时f(x)=f(-x)==

(2)0<x≤π时,f′(x)=,令g(x)=xcosx-sinx,则g′(x)=-xsinx≤0,且仅当x=π时g′(x)=0,所以g(x)严格减,g(x)<g(0)=0,所以f′(x)<0,f(x)严格减.而f(x)为偶函数,故-π≤x<0时f(x)严格增.因此f(x)在[-π,π]上的最大值为f(0)=1.

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