高数竞赛题解：不定积分求解

例3.5（江苏省1998年竞赛题）　求

解析　当x＞1时，应用分部积分法，有

当0＜x＜1时，应用分部积分法，有

在两式中令x=1得-1+C=1+C1，故C1=C-2.于是

例3.6（北京市1995年竞赛题）　设y是由方程y3（x+y）=x3所确定的隐函数，求

解析　令x=ty，代入原方程有（1+t）y4=t3y3，从而

所以

例3.7（浙江省2009年竞赛题）　求

解析　因为（xlnx-x）′=lnx，令x（lnx-1）=t，应用换元积分法，则

例3.8（江苏省2000年竞赛题）　求

解析　令x2=t，则

例3.9（南京大学1995年竞赛题）　=________.

解析　分部积分，有

例3.10（南京大学1995年竞赛题）　求

解析　因（xex）′=ex（x+1），令xex=t，则

例3.11（江苏省2004年竞赛题）　=________.

解析　因为，所以

例3.12（江苏省2004年竞赛题）　=________________.(www.xing528.com)

解析　因为（xtanx）′=xsec2x+tanx，所以

例3.13（全国大学生2013年决赛题）　计算不定积分

解析　令xln（1+x2）dx=dv，则

应用分部积分法，有

注：本题先令xarctanxdx=dv，求出v后再对原式分部积分，也可计算.

例3.14（解放军防化学院1992年竞赛题）　求

解析　令=t，有x=ln（1+t2）-ln（1-t2），则

例3.15（北京市1999年竞赛题）　求

解析　令lnx=t，有x=et，所以

例3.16（江苏省2002年竞赛题）　∫arcsinx·arccosxdx=_________.

解析　分部积分，得

例3.17（江苏省2006年竞赛题）　求

例3.18（南京大学1996年竞赛题）　已知f″（x）连续，f′（x）≠0，求

解析　对被积函数的第二项分部积分，有

于是

例3.19（北京市1990年竞赛题）　计算

解析　原式，令sin　x-1=u，则