例3.1（莫斯科钢铁与合金学院1976年竞赛题） 设f′（sin2x）=cos2x+tan2x，0＜x＜1，试求函数f（x）.
解析 由于cos2x=1-2sin2x，tan2x=
，令sin2x=t，则
积分得
f（t）=-t2-ln|t-1|+C
由于0＜x＜1，所以0＜t＜1，于是
f（x）=-x2-ln（1-x）+C
例3.2（南京大学1993年竞赛题） 已知定义于R的函数f（x）满足
又f（0）=1，则f（x）=________.
解析 令lnx=t，则
积分得
令t=0，得f（0）=1=C1=1+C2，故C1=1，C2=0，于是
例3.3（江苏省1991年竞赛题） 设f（x）在［0，+∞）上连续，在（0，+∞）内可导，g（x）在（-∞，+∞）内有定义且可导，g（0）=1，又当x＞0时
f（x）+g（x）=3x+2，f′（x）-g′（x）=1
f′（2x）-g′（-2x）=-12x2+1
求f（x）与g（x）的表达式.
解析 将f′（x）-g′（x）=1两边积分得
f（x）-g（x）=x+C1
由f（0）=g（0）=1，可得C1=0，故f（x）-g（x）=x.
将上式与f（x）+g（x）=3x+2联立解得
f（x）=2x+1，g（x）=x+1 （x≥0）(www.xing528.com)
在f′（2x）-g′（-2x）=-12x2+1中令u=2x得
f′（u）-g′（-u）=-3u2+1
两边积分得
f（u）+g（-u）=-u3+u+C2
由f（0）=g（0）=1，可得C2=2，所以
g（-u）=-u3+u+2-f（u）=-u3-u+1 （u≥0）
所以
g（x）=x3+x+1 （x＜0）
例3.4（莫斯科全苏大学生1975年竞赛题） 求满足下列条件的可微函数f（x）：对任意的x，y（x≠y），有
=f′（αx+βy），这里α≥0，β≥0，且α+β=1.
解析 令x=u-βv，y=u+αv，则y-x=v（v≠0），αx+βy=u，故有
f（y）-f（x）=f（u+αv）-f（u-βv）=vf′（u）
对v求导两次得
α2f″（u+αv）=β2f″（u-βv）
即α2f″（y）=β2f″（x），对一切x，y（x≠y）成立.
（1）若α≠β，则f″（x）=0，积分得所求函数为
f（x）=C1x+C2
（2）若α=β=
，则f″（x）=C1，积分得所求函数为
以上两式中，C1，C2，C3为任意常数.
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