高等数学竞赛题解析教程:定积分应用于几何与物理

1）平面图形的面积

（1）若平面图形D是由上、下两条曲线y=f（x），y=g（x）（g（x）≤f（x））与直线x=a，x=b（a＜b）围成的，则D的面积为

（2）若平面图形D是由左、右两条曲线x=φ（y），x=ψ（y）（φ（y）≤ψ（y））与直线y=c，y=d（c＜d）围成的，则D的面积为

（3）若平面图形D是极坐标下的两条曲线ρ=ρ1（θ），ρ=ρ2（θ）（ρ1（θ）≤ρ2（θ））与射线θ=α，θ=β（α＜β）围成的，则D的面积为

2）特殊立体的体积

（1）设立体Ω介于两平面x=a，x=b（a＜b）之间，∀x∈［a，b］，过点x作平面垂直于x轴，该平面与立体Ω的截面的面积为可求的连续函数A（x），则立体Ω的体积为

（2）平面图形D：｛（x，y）|g（x）≤y≤f（x），a≤x≤b｝绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为

（3）平面图形D：｛（x，y）|g（x）≤y≤f（x），a＜x＜b，a≥0｝绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为(www.xing528.com)

3）平面曲线的弧长

（1）平面曲线Γ的方程y=f（x）（a≤x≤b），若f（x）连续可导，则曲线Γ的弧长为

（2）平面曲线Γ的参数方程为x=φ（t），y=ψ（t）（α≤t≤β），φ（t）与ψ（t）皆连续可导，则曲线Γ的弧长为

（3）平面曲线Γ的极坐标方程为ρ=ρ（θ），α≤θ≤β，ρ（θ）连续可导，则曲线Γ的弧长为

4）旋转曲面的面积

平面曲线y=f（x）（f（x）≥0，a≤x≤b）绕x轴旋转一周所得旋转曲面的面积为

5）定积分在物理上可用于求变力在直线运动下所作的功、液体的压力以及引力等，这些应用可用微元法解决.