高等数学竞赛题解析教程:利用四则运算求极限

例1.5（江苏省2008年竞赛题）　当a =_________，b=_________时，有

解析　因为

所以a+2=1-b；又因为

所以a-2=b+1.

由上，解得a=1，b=-2.

例1.6（莫斯科经济统计学院1977年竞赛题）　设0，求λ，μ.

解析　由可得

例1.7（精选题）　设f（x）是x的三次多项式，且

求

解析　设f（x）=A（x-2a）（x-3a）（x-4a），则

由此可得

例1.8（江苏省2012年竞赛题）　求

例1.9（江苏省2012年竞赛题）　求

解析　令，则

由于故

例1.10（莫斯科公路学院1976年竞赛题）　求

解析　由于

所以

即原式=.

例1.11（浙江省2002年竞赛题）　设

解析　应用反正切函数的和角公式，有

所以Sn=arctan，则

例1.12（南京大学1993年竞赛题）　已知则=_________.

解析　分别将xn的分子与分母化简得

于是

例1.13（莫斯科电子技术学院1975年竞赛题）　求

例1.14（莫斯科民族友谊大学1977年竞赛题）　求

解析　由于

k3+6k2+11k+5=（k+1）（k+2）（k+3）-1

所以

即原式=.

例1.15（江苏省2014年竞赛题）　设对每一个j，都是无穷小数列，其中j=1，2，3，….现定义，若｛zk｝是一个数列，则是否一定成立？若一定成立，给出证明；若不一定成立，举一反例.(www.xing528.com)

解析　不一定成立.反例如下：

当j=1时，设

当j≥2时，设

即

则，所以

例1.16（浙江省2003年竞赛题）　如图所示，从正方形四个顶点P1（0，1），P2（1，1），P3（1，0），P4（0，0）开始构造P5，P6，…，使得P5为P1P2的中点，P6为P2P3的中点，P7为P3P4的中点.以此类推，我们便得到点｛Pn｝收敛于正方形内部一点P0，试求P0的坐标.

解析　设点Pn的坐标为Pn（xn，yn），则

2xn=xn-4+xn-3

2xn+1=xn-3+xn-2

2xn+2=xn-2+xn-1

2xn+3=xn-1+xn

四式相加得

xn+2（xn+1+xn+2+xn+3）

=xn-4+2（xn-3+xn-2+xn-1）=xn-8+2（xn-7+xn-6+xn-5）

=…=x1+2（x2+x3+x4）=0+2（1+1+0）=4

令n→∞，得同理可得即P0的坐标为

注：若题中未说｛Pn｝收敛于P0，则还需证明｛Pn｝的收敛性.

例1.17（江苏省1991年竞赛题）　已知一点先向正东移动am，然后左拐弯移动aq　m（其中0＜q＜1），如此不断重复左拐弯，使得后一段移动距离为前一段的q倍，这样该点有一极限位置，试问该极限位置与原出发点相距多少米？

解析　设出发点为坐标原点O（0，0），移动n次到达点（xn，yn）.根据移动规则，得x1=a，x2=a，x3=a-aq2，x4=a-aq2，x5=a-aq2+aq4，x6=x5，x7=a-aq2+aq4-aq6，x8=x7，…，归纳得

x2n-1=a-aq2+aq4-…+（-1）n-1aq2（n-1），x2n=x2n-1

于是

同样，根据移动规则得y1=0，y2=aq，y3=y2，y4=aq-aq3，y5=y4，y6=aq-aq3+aq5，y7=y6，…，归纳得

y2n=aq-aq3+…+（-1）n-1aq2n-1，y2n+1=y2n

于是

故极限位置为它与原点的距离为

例1.18（上海交通大学1991年竞赛题）　设x1=1，x2=2，且

求

解析　令yn=lnxn，则由得

故

移项得

故于是