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高等数学竞赛题解析教程:利用四则运算求极限

时间:2023-11-16 理论教育 版权反馈
【摘要】:若一定成立,给出证明;若不一定成立,举一反例.解析不一定成立.反例如下:当j=1时,设当j≥2时,设即则,所以例1.16如图所示,从正方形四个顶点P1(0,1),P2(1,1),P3(1,0),P4(0,0)开始构造P5,P6,…+(-1)n-1aq2n-1,y2n+1=y2n于是故极限位置为它与原点的距离为例1.18设x1=1,x2=2,且求解析令yn=lnxn,则由得故移项得故于是

高等数学竞赛题解析教程:利用四则运算求极限

例1.5(江苏省2008年竞赛题) 当a =_________,b=_________时,有

解析 因为

所以a+2=1-b;又因为

所以a-2=b+1.

由上,解得a=1,b=-2.

例1.6(莫斯科经济统计学院1977年竞赛题) 设0,求λ,μ.

解析 由可得

例1.7(精选题) 设f(x)是x的三次多项式,且

解析 设f(x)=A(x-2a)(x-3a)(x-4a),则

由此可得

例1.8(江苏省2012年竞赛题) 求

例1.9(江苏省2012年竞赛题) 求

解析 令,则

由于

例1.10(莫斯科公路学院1976年竞赛题) 求

解析 由于

所以

即原式=.

例1.11(浙江省2002年竞赛题) 设

解析 应用反正切函数的和角公式,有

所以Sn=arctan,则

例1.12(南京大学1993年竞赛题) 已知=_________.

解析 分别将xn的分子与分母化简得

于是

例1.13(莫斯科电子技术学院1975年竞赛题) 求

例1.14(莫斯科民族友谊大学1977年竞赛题) 求

解析 由于

k3+6k2+11k+5=(k+1)(k+2)(k+3)-1

所以

即原式=.

例1.15(江苏省2014年竞赛题) 设对每一个j,都是无穷小数列,其中j=1,2,3,….现定义,若{zk}是一个数列,则是否一定成立?若一定成立,给出证明;若不一定成立,举一反例.(www.xing528.com)

解析 不一定成立.反例如下:

当j=1时,设

当j≥2时,设

,所以

例1.16(浙江省2003年竞赛题) 如图所示,从正方形四个顶点P1(0,1),P2(1,1),P3(1,0),P4(0,0)开始构造P5,P6,…,使得P5为P1P2中点,P6为P2P3的中点,P7为P3P4的中点.以此类推,我们便得到点{Pn}收敛于正方形内部一点P0,试求P0的坐标.

解析 设点Pn的坐标为Pn(xn,yn),则

2xn=xn-4+xn-3

2xn+1=xn-3+xn-2

2xn+2=xn-2+xn-1

2xn+3=xn-1+xn

四式相加得

xn+2(xn+1+xn+2+xn+3

=xn-4+2(xn-3+xn-2+xn-1)=xn-8+2(xn-7+xn-6+xn-5

=…=x1+2(x2+x3+x4)=0+2(1+1+0)=4

令n→∞,得同理可得即P0的坐标为

注:若题中未说{Pn}收敛于P0,则还需证明{Pn}的收敛性.

例1.17(江苏省1991年竞赛题) 已知一点先向正东移动am,然后左拐弯移动aq m(其中0<q<1),如此不断重复左拐弯,使得后一段移动距离为前一段的q倍,这样该点有一极限位置,试问该极限位置与原出发点相距多少米?

解析 设出发点为坐标原点O(0,0),移动n次到达点(xn,yn).根据移动规则,得x1=a,x2=a,x3=a-aq2,x4=a-aq2,x5=a-aq2+aq4,x6=x5,x7=a-aq2+aq4-aq6,x8=x7,…,归纳得

x2n-1=a-aq2+aq4-…+(-1)n-1aq2(n-1),x2n=x2n-1

于是

同样,根据移动规则得y1=0,y2=aq,y3=y2,y4=aq-aq3,y5=y4,y6=aq-aq3+aq5,y7=y6,…,归纳得

y2n=aq-aq3+…+(-1)n-1aq2n-1,y2n+1=y2n

于是

故极限位置为它与原点的距离为

例1.18(上海交通大学1991年竞赛题) 设x1=1,x2=2,且

解析 令yn=lnxn,则由

移项得

于是

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