高等数学竞赛题解析教程：求函数表达式

例1.1（江苏省2004年竞赛题）　已知函数f（x）是周期为π的奇函数，且当时f（x）=sinx-cosx+2，则当时f（x）=____________.

解析　因f（x）为奇函数，所以当-＜x＜0时

f（x）=-f（-x）=-（sin（-x）-cos（-x）+2）

=sinx+cosx-2

又因为f（x）是周期为π的函数，所以当＜x＜π时

f（x）=f（x-π）=sin（x-π）+cos（x-π）-2

=-sinx-cosx-2

例1.2（江苏省1991年竞赛题）　函数y=sinx|sinx|（其中|x|≤）的反函数为_________.

解析　当0≤x≤时y=sin2x，即sinx=（0≤y≤1），所以x=arcsin（0≤y≤1）；当-≤x≤0时y=-sin2x（-1≤y≤0），所以于是所求反函数为

注　若利用公式sin2x=类似的分析可得所求反函数为

例1.3（北京市1994年竞赛题）　已知f′（-x）=x［f′（x）-1］，求函数f（x）.

解析　由f′（-x）=x［f′（x）-1］可得

xf′（-x）=x2［f′（x）-1］　及　f′（x）=-x［f′（-x）-1］

由此可得f′（x）=x+x2-x2f′（x），解出

两边积分得f（x）=x+ln（1+x2）-arctanx+c.(www.xing528.com)

例1.4（莫斯科经济统计学院1975年竞赛题）　求

的表达式，并作函数f（x）的图象.

解析　当0≤|x|＜1时，f（x）=（1+0+0）0=1；

当x=1时，f（1）=（2+0）0=1；

当x=-1时，由于

所以x=-1时f（x）无定义；

当1＜x＜2时

当x=2时

当|x|＞2时

当-2＜x＜-1时，由于

所以-2＜x＜-1时f（x）无定义；

当x=-2时，由于

所以x=-2时f（x）无定义.

函数f（x）的图象如右图所示.