在大学二年级的那个暑假，我找了一份调查大众健康状况的工作。从事该项研究的那位研究人员（大家马上就会明白我为什么不提他的名字）希望雇用一名数学专业的学生，帮助他预测2050年患肺结核的人数。他给了我厚厚一叠文件，内容涉及肺结核的各项数据：在各种情况下的传染性、典型的传染过程与最长传染期、存活曲线、坚持服药率，并对上述统计数据按照年龄、种族、性别与艾滋病毒感染状况进行了分类。文件的数量很多，装在一个大文件夹中。我开始了数学专业学生的本职工作：利用这位研究人员提供的数据建立了一个肺结核流行情况模型，预测从当时起直至2050年，不同人群每10年内感染肺结核人数的变化情况。
我最终得出的结论是：我根本无法预测出2050年有多少人会患上肺结核。任何实证研究都必然存在某种程度的不确定性，人们认为感染率为20%，但实际感染率有可能是13%，也有可能是25%，当然，可以确定的是，感染率不会是60%或者零。局部细节的不一致性在整个模型中随处可见，不同参数的不确定性又相互影响，因此，等到分析2050年的情况时，数据噪声已经大到足以淹没有效信号，致使我建立的模型有可能得出两种结果：到2050年，有可能肺结核已经消失了，也有可能大多数人都感染了肺结核。而且，我没有办法确定哪种结果是正确的。
但是，那位研究人员不愿意接受这样的结果。他付给我钱，希望我能给他一个具体的数字。他再三向我解释：“我知道这里存在不确定性，所有的医学研究都有不确定性，我知道这个特点，但是，你还是要告诉我你认为哪个结果更有可能是正确的。”尽管我再三跟他说随意猜测可能会导致更糟糕的结果，但他就是不肯罢休。毕竟他是老板，因此，我最终屈服了。我敢肯定，他随后会告诉很多人，到2050年将有X百万人患肺结核。我还敢肯定，如果有人质疑他是如何得到这个数字的，他会说：“我雇用了一个家伙，通过数学计算得到了这个结果。”
指手画脚的批评家和发挥重要作用的批评家
上面这个故事似乎是在建议大家消极地规避错误，也就是说，在面对所有难题时从不表明态度，只是耸耸肩或者含糊其词地说：当然是这么一回事，但是，从另一个方面看，也有可能是另外一回事……
吹毛求疵、爱唱反调或含糊其词，都无济于事。人们在谴责这些行为时，习惯引用西奥多·罗斯福（Theodore Roosevelt）的演讲——“一个共和国的公民意识”（Citizenship in a Republic）。1910年，罗斯福的总统任期刚结束不久，他在巴黎演讲时说：
当一个强者跌倒或者一个实干家做得不够完美时，只会在一旁指手画脚的批评家，没什么了不起的。荣耀属于真正站在竞技场上的人，他的脸上满是灰尘和血汗，尽管一次次出错和遭遇失败，仍然勇往直前，因为世界上根本不存在唾手可得的成就。他明白热情和奉献的意义，并完全投身于有价值的事业。最后若是成功了，他就能享受胜利的喜悦；就算失败了，他也会因曾经全力以赴而无怨无悔。所以，他永远不会与那些冷漠胆小、从未品尝过成功和失败滋味的灵魂为伍。
人们经常引用这段文字，而且整个演讲都具有现实和深远的意义，令人津津乐道、难以忘怀，也让现在的美国总统难以超越。这次演讲还涉及本书其他章节的内容，例如金钱的边际效用递减问题。
事实上，在物质上取得一定的成功或得到一定的回报之后，相较于一生中可以做的其他事，追求物质利益的重要性将会不断减小。
还有对于“不可学习瑞典模式”，罗斯福指出，好的东西多多益善，反之亦然。
因为人们对进步的追求贪得无厌、永无止境，就拒绝所有进步；因为极端主义者提倡的某些措施是明智的，就不加任何节制地滥用，这两种做法都非常愚蠢。
但是，罗斯福的整个演讲都是围绕一个主题展开的，他认为只有勇敢、常识与阳刚之气击败软弱、知识与狭隘的思想，人类文明才能得以维系。他是在法国学术界的圣殿索邦大学做这番演讲的，10年前，希尔伯特也是在这里提出他的23个问题的。在布莱士·帕斯卡尔的塑像面前，希尔伯特呼吁听众中的数学家与几何直觉及物理的抽象性展开更加深入的斗争。罗斯福的目标正好相反，他虽然在口头上对法国学术界的成就表示尊重，却明确地指出他们的书本知识在培育伟大民族方面仅能发挥次要作用。“站在代表最高知识水平的大学里，我要对知识以及大家的教育工作表示敬意。但是，我认为更重要的是常识以及在日常生活中表现出来的各种优秀品质。我想在座的诸位都会认同这个观点。”
不过，罗斯福接着说：“严重脱离实际的哲学家，虽然有教养、有文化，但是他们整天泡在图书馆里，对政府如何管理的问题指手画脚。事实上，对于真正的政府管理而言，他们给出的建议没有任何实际意义。”听到这番话，我不由得想到了孔多塞。孔多塞就像罗斯福所说的哲学家一样，大部分时间都泡在图书馆里，但是他对法国做出的贡献却超过同时代大多数更注重实践的人。罗斯福对置身事外、事后对战士们提出批评的那些阴暗、胆小的灵魂嗤之以鼻，却让我想起了亚伯拉罕·瓦尔德。据我所知，瓦尔德一生从来没有在怒火中拿起武器，但是，他正是通过向那些“实干家”提出改善的意见，在美国战争中同样发挥了重要作用。他没有流过血，也没有负过伤，但是他的决策是正确的，他是一位非常重要的批评家。
行为的结果是充满不确定性的
约翰·阿什贝利（John Ashbery）在诗作《最迅速的改进》（Soonest Mended）中表达了与罗斯福截然相反的观点。在我看来，这首诗代表了不确定性与启示在人类思想中相得益彰的最高水平，因为两者没有相互抵消，而是水乳交融、相互补充。与罗斯福的百折不挠、进取心十足的演讲相比，这首诗对人生的描绘更加复杂和准确。阿什贝利的悲喜交加的公民意识几乎就是对罗斯福“一个共和国的公民意识”做出的回答。
你知道，我们两个都是正确的，尽管
我们的名气不大，但是
我们遵纪守法、安居乐业，
从某种意义上讲，我们都是“良好公民”。
我们过着平静的生活，学会
在困难时接受慈善捐助，
因为行为的结果是充满不确定性的。
我们日出而作，开始一天的忙碌，
翻地，播种，
回到家中，这一切就会被放下。
“因为行为的结果是无法确定的”这句话变成了我的口头禅。西奥多·罗斯福也肯定会认为“不确定”是一种实际行为，而且是一种骑墙式的懦夫行为。1986年，“家燕”乐队（迄今为止推崇马克思主义的最伟大的流行乐队）在歌曲《骑墙》中与罗斯福站在了一起。这首歌以咄咄逼人的气势刻画了政治温和派软弱无力的形象。
骑墙的人面对各种民调结果左右摇摆
骑墙的人首鼠两端、犹豫不决……
但是这类人最大的问题是
在可以有所作为时却畏缩不前……
不过，罗斯福与“家燕”乐队的观点是错误的，阿什贝利的看法则是正确的。在阿什贝利看来，不确定是坚强的行为，而不是软弱的表现。诗中还有一句话说得非常好：“一种骑墙行为/但是上升到了审美理想的高度。”
数学就属于此列。人们通常认为数学领域研究的是确定性与绝对真理（从某些方面看也确实如此），是诸如2+3=5这类必然的事实。
但是，从帕斯卡时代以来，数学还是人们用于思考不确定性事物的手段。借助数学知识，我们即便无法完全驯化不确定性，至少可以使它变得易于驾驭。帕斯卡首先运用数学知识帮助赌徒理解随机性这个概念，计算在不确定性最大的情况下赌注的赔率。数学为我们提供了一种公正、公平的表达不确定性的方式：我们不是无能为力，而是“不确定，原因是……不确定的大致程度为……”又或者“我不确定，而且我相信你也不确定”。
成功预测出美国总统大选结果的“神奇小子”
当今，在公正、公平地对待不确定性方面最杰出的代表人物之一是纳特·西尔弗（Nate Silver），他从网络扑克玩家变成了棒球统计专家和政治分析师。2012年，《纽约时报》上关于美国总统大选的西尔弗专栏，使更多的人对概率论产生了前所未有的浓厚兴趣。我认为西尔弗就是概率论领域的科特·柯本（Kurt Cobain）[1]，他们都全身心地投入文化实践（西尔弗从事的是体育与政治的定量预测工作，而柯本则热衷于朋克摇滚），而在他们之前，这种文化实践仅在一个冷漠、虔诚的小圈子中流行。两者的成功都证明了一个事实，即如果我们不拒人于千里之外，那么在公开场合从事我们的活动时，无须牺牲原始资料的完整性，也能让这种活动受到大众的热烈欢迎。
西尔弗取得如此成就，原因何在呢？主要原因在于他愿意开诚布公地谈论不确定性，没有把不确定性看作示弱的表现，而是把它视为这个世界固有的特点，可以运用严谨的科学知识加以研究，并取得良好的结果。如果在2012年9月我们希望知道“谁会在11月当选为美国总统”，一堆政治权威会告诉我们是“奥巴马”，还有一堆专家（人数可能比前者少）会说是“罗姆尼”。然而，这些人的回答都是错误的，因为正确答案只有一个：“这两个人都有可能获胜，但是奥巴马当选的可能性要高得多。”尽管媒体的影响面如此之广，但是愿意告诉大家这个答案的只有西尔弗一个人。
持传统政治观点的人对这个答案并不满意，就像我参与的肺结核研究项目的老板一样，他们希望得到一个明确的答案。他们不知道，西尔弗其实已经给出了一个明确的答案。
乔希·乔丹（Josh Jordan）在《国家评论》（National Review）杂志中指出：“9月30日，西尔弗预测奥巴马获胜的概率为85%，选举团的票数为320∶218。今天，两个候选人之间的差距缩小了，但是西尔弗仍然预测奥巴马获胜的概率为67%，并且在选举团的投票中会以288∶250的票数领先。因此，很多人怀疑西尔弗是否跟大家一样，注意到三周以来人们对罗姆尼的态度发生了积极的变化。”
西尔弗到底有没有注意到人们对罗姆尼的态度发生了积极的变化呢？答案很明显是肯定的：9月底，他预测罗姆尼获胜的概率为15%；而10月22日，他把这个概率提高至33%。但是，乔丹对西尔弗的改变视而不见，因为西尔弗仍然预测（事实证明这个预测是正确的）奥巴马获胜的概率超过罗姆尼。对于乔丹等传统的政治新闻记者而言，这意味着西尔弗的答案没有发生任何变化。
美国政治新闻网站Politico的迪伦·拜耶斯（Dylan Byers）指出：“某个人在预测罗姆尼获胜的概率时，给出的答案从来没有高于41%（这个数据还得追溯至6月2日），而在大选前一周当民调数据表明民众对罗姆尼的支持度与现任总统几乎持平时，这个家伙预测罗姆尼成功的概率仍然只有1/4。如果罗姆尼真的于11月6日当选，人们将很难一如既往地相信西尔弗的预测……尽管西尔弗在预测时信誓旦旦，但我们常常觉得他的措辞十分含糊。”
如果大家关注数学，那么这类评论肯定会让大家扼腕叹息。西尔弗的预测并非含糊其词，而是诚实的表现。天气预报说降水概率为40%，如果真的下雨了，我们会对天气预报失去信心吗？显然不会，因为我们知道天气变化本来就充满了不确定性。如果天气预报说明天肯定会（或者不会）下雨，则是一种不正确的做法。
当然，奥巴马最终赢得了大选，而且选票数远超罗姆尼，这让批评西尔弗的那些人显得有些愚蠢。
具有讽刺意味的是，如果这些批评家希望抓住西尔弗的错误之处，他们本来有一个绝好的机会，即问西尔弗“你预测错误的州有多少个”，但是他们没有抓住这个机会。据我所知，没有人向西尔弗提出这个问题。然而，我们很容易想象他会怎么回答这个问题。10月26日，西尔弗估计奥巴马有69%的概率在新罕布什尔州获胜。如果那个时候我们坚持让他预测该州的选举结果，他肯定会倾向于奥巴马。因此，我们可以认为，西尔弗对新罕布什尔州的选举结果预测错误的概率为0.31。换言之，他预测错误的期望值是0.31。在这种情况下，他对新罕布什尔州的预测要么是正确的（概率为0.68），要么是错误的（概率为0.31），运用我们在第11章介绍的方法，可以计算出期望值为：
西尔弗对北卡罗来纳州的预测更有信心，他认为奥巴马获胜的概率仅为19%。但是，即便这个概率非常小，仍然说明他关于罗姆尼获胜的预测最终落空的概率为19%，也就是说，他出错的期望值为0.19。下表列出的是10月26日西尔弗对候选人之间可能会产生竞争的各州选举结果的预测情况：
（续）
由于期望值有可加总性，西尔弗在估计自己预测错误的数量时，很有可能会计算各州预测错误期望值的总和，得数为2.83。换句话说，如果有人提出上述问题，他可能会这样回答：“总体来讲，在我所预测的各州选举结果中，可能有3个是错误的。”
事实上，他的预测结果全部正确。(www.xing528.com)
西尔弗的预测结果比他本人认为的更加精准，因此，即使最老练的政界权威也无法攻击他的预测。思维上的这种迂回曲折是良性的，无须矫正！如果我们像西尔弗那样做出正确的推理，就会发现推理结果往往也是正确的，但是我们并不会认为自己一贯正确。哲学家奎因（Quine）指出：“所谓信念，就是相信某个东西是正确的。因此，理性的人相信他的每一个信念都是正确的；然而根据经验，他又会认为自己的某个信念（但是无法确定是哪一个）有可能是错误的。简言之，理性的人会认为自己的每一个信念都是正确的，但又有一些信念是错误的。”
从形式上看，这个观点与我们在第17章讨论的美国民意调查中存在的明显的自我矛盾的情况十分相似。美国人民认为每一个政府项目都值得继续投资，但这并不意味着美国所有的政府项目都值得继续投资。
西尔弗摆脱了政治新闻的僵化传统，把更真实的情况呈现给大众。他在新闻报道中没有预言谁会获胜，也没有说谁的“势头很猛”，而是预测了这些候选人成功当选的概率。他没有告诉大众奥巴马可能赢得多少选举团的选票，而是报告了概率分布情况，即奥巴马有67%的概率获得再次当选总统所需的270张选举团的选票，票数突破300张的概率为44%，获得330张选票的概率为21%，等等。从严谨的角度看，西尔弗的公开预测充满不确定性，但是公众却全盘接受了他的看法。这样的结果，连我都觉得不可思议。
所有的行为，都充满了不确定性。
不可过于计较精确性
西尔弗指出：“从目前的态势看，奥巴马获胜的概率为73.1%。”有人认为这种说法有误导性，对于这个批评意见，我在一定程度上持赞成态度，因为这个数字暗示这个预测结果具有某种可能并不存在的精确性。如果他使用的预测模型今天给出的结果是73.1%，明天又变成73%，那么大家不会认为这样的模型具有统计学显著性。这个批评意见针对的是西尔弗的预测结果，而不是他的预测模型。由于政治新闻记者们认为这个看上去十分精准的数字会给读者留下深刻印象，并使其下意识地接受这个观点，因此，这个批评意见还是颇有道理的。
过于精确有时也会产生问题。我们在标准化测试中使用的评分方法可以使分数精确至小数点后好几位，但是我们不应该这样做。因为当前的精确度已经足以让学生们严阵以待，无须再让他们为了同学拥有0.01分的微弱优势而惴惴不安了。
如果在选举中盲目追求精确性，不仅在人们躁动不安地观望选举结果时会造成不良影响，而且在选举结束后，这种影响也不会马上消失。大家别忘了，在佛罗里达州2000年的选举中，小布什与阿尔·戈尔之间仅差几百张选票，约占总票数的万分之一。从法律及习惯的角度看，这几百张选票对于判断到底哪位候选人可以成功当选总统具有非常重要的意义。但是，从佛罗里达州人民到底希望谁当选总统这个角度看，过于计较这个问题是非常荒谬的。选票污损、丢失、计票错误等原因造成的不精确性，使得最终票数的细微差别已经没有多大意义了，我们无法知道到底谁在佛罗里达州获得的选票更多。法官与数学家的区别在于：法官必须想方设法假装自己知道结果，而数学家则可以肆无忌惮地说出真相。
记者查尔斯·塞费（Charles Seife）在《证明》（Proofiness）一书中，对民主党人阿尔·弗兰肯（Al Franken）与共和党人诺姆·科尔曼（Norm Coleman）在明尼苏达州争夺美国参议员席位一事进行了有趣但又令人沮丧的描述。这次对决双方势均力敌，但是，通过冷静的分析，人们发现支持弗兰肯的明尼苏达州人整整多出了312个，因此，预言弗兰肯将获得这个席位似乎是合情合理的。不过，在现实情况中，这个数字却必然是人们对某些问题的合法性（诸如在弗兰肯的姓名上画圈、填写“蜥蜴人”[2]的选票是否合法）存在广泛争议的产物。一旦我们对这类争议形成定论，谁“真正”获得较多选票的问题就失去了意义，因为“信号”已经被“噪声”淹没。西尔弗认为票数如此接近的选举应当通过抛硬币来决定谁当选。有人无法接受这种单凭运气选择政府官员的方法，但我却倾向于表示支持。因为抛硬币的最大好处就在于随机性，势均力敌的选举本来就是靠随机性决定结果。大城市遭遇恶劣天气，偏远乡镇的投票机器发生故障，彩票设计不合理导致年老的犹太人把选票投给帕特·布坎南等，在选举陷入势均力敌的僵局时，这些随机性事件都有可能对选举结果产生影响。用抛硬币的方法，我们就无须心口不一地宣布，在这场旗鼓相当的竞赛中，选民支持的是获胜的那位候选人。有时，选民会表示抗议：“我不知道（该选谁）。”
大家可能认为我过于看重精确性了吧。人们常常认为数学家总是强调确定性，还认为我们一直讲究精确性，在所有计算中都希望小数点后能保留尽可能多的位数。其实这种想法是错误的，我们在计算时，会根据需要决定精确程度。中国有一个叫作陆超的年轻人，可以将圆周率小数点后的67890位数字背诵出来。这样的记忆力的确相当惊人，但是这样的行为有意义吗？没有任何意义，因为圆周率小数点后面的那些数字没有意义。大家都知道，那些数字几乎就是随机出现的。当然，圆周率本身是有意义的，但是圆周率并不等同于那些数字，那些数字仅仅是用来描述圆周率的。同样，我们可以用北纬48.8586度、东经2.2942度这样的经纬度来表示埃菲尔铁塔的位置，无论把这两个数字精确到小数点后多少位，它们仍然无法揭示出埃菲尔铁塔之所以是埃菲尔铁塔的原因。
精确性不仅仅是指有多少个小数位。本杰明·富兰克林（Benjamin Franklin）对他在费城的知识分子圈成员托马斯·戈弗雷（Thomas Godfrey）的描述十分犀利：“他的知识面非常狭窄，而且他很难相处。同我认识的大多数伟大的数学家一样，他对人们说的每一句话都非常较真，在小事上吹毛求疵，和他交谈总是让人十分头疼。”
这样的指责并不是完全空穴来风，令人无法回应。数学家有可能对逻辑上的细枝末节过于挑剔，而我们则认为这非常荒谬。如果有人问：“你要汤还是沙拉加汤？”我们的回答往往是：“好的。”
无法计算
然而，即使数学家也不希望严格遵循逻辑（说俏皮话时例外），因为这是一种非常危险的行为。举个例子，如果我们是信奉纯粹推理主义的思想家，一旦我们相信的两个事实相互矛盾，从逻辑上讲我们就会认为所有的说法都是错误的。假设我相信巴黎是法国首都，同时我也相信巴黎不是法国首都，这似乎与波特兰开拓者队是不是1982年的NBA总冠军无关。但是，我们来看看其中的玄机。“巴黎是法国首都且开拓者队赢得了NBA总冠军”这个说法是事实吗？这不是事实，因为我知道巴黎不是法国首都。
如果“巴黎是法国首都且开拓者队是NBA总冠军”这个说法不正确，那么，要么巴黎不是法国首都，要么开拓者队不是NBA总冠军。但是，我知道巴黎是法国首都，因此我可以排除第一种可能。所以，开拓者队没有赢得1982年的NBA总冠军。
不难发现，如果把这个证明过程逆向展开，我们也可以证明所有的说法都是正确的。
这种情况似乎非常奇怪，但是作为逻辑推理，这是无可辩驳的。在形式主义系统的任意位置加入一点儿矛盾的成分，都会让整个系统崩溃。有数学天赋的哲学家把形式主义逻辑的脆弱性称为“爆炸原则”。
詹姆斯·库克船长[3]为独裁者的机器人输入了一个悖论，结果在爆炸原则的作用下，这些机器人的推理模块遭到破坏并停止运行。（在电源灯熄灭之前，他们伤心地说：无法计算。）库克船长借助一个悖论，让那些傲慢的机器人丧失了能力，而伯特兰·罗素同样借助一个阴险的悖论，使戈特洛布·弗雷格的集合论分崩离析。
不过，库克船长的那一套把戏对人类无效。即使以数学研究为生的人也不会像机器人那样进行推理，而是对矛盾有一定的容忍度。斯科特·菲茨杰拉德（Scott Fitzgerald）说过：“一流的智力应该具备同时考虑两种相互矛盾的观点并且正常运转的能力。”
数学家将这种能力作为一种基本的思维工具，它是归谬法的基础，因为归谬法要求在推理过程中把我们视为错误的命题当作真命题：虽然我们试图证明2的平方根不是有理数，但是我们先假设它是一个有理数……这其实是在大脑清醒的状态下进行梦游，在这个过程中我们的思维不能短路。
事实上，人们经常建议（我在攻读博士学位时，导师就是这样建议我的，可能他的导师当初也给了他同样的建议），当为一个定理绞尽脑汁时，我们应该在白天证明它是正确的，在晚上证明它是错误的。具体采用什么样的切换频率并不重要，据说，拓扑学家宾（Bing）的习惯做法是将一个月分成两部分，用两周时间证明庞加莱猜想是正确的，用剩下的两周时间寻找反例。
为什么要从事这种背道而驰的研究呢？采用这种做法有两个比较充分的理由。第一个理由是，我们有可能犯错误。如果一个说法其实是错误的，但我们却以为并尝试证明它是正确的，那么我们必将徒劳无功。如果利用白天以外的时间来反证，就可以避免耗费太多的时间与精力。
第二个理由是，如果我们试图证明某个正确的观点或想法是错误的，那么我们必将失败。我们习惯于认为失败不是一件好事，但并不是所有的失败都是坏事，因为我们也可以从失败中学到一些东西。我们用一种方法证明某个说法是错误的，结果没成功，然后我们换另一种方法，结果再次遭遇失败。每一次失败的尝试都会让我们遇到一堵墙，如果运气好，这一堵堵墙会连成一片，关于该定理的正确证明方法就会呈现在我们面前。如果能够彻底地了解失败的原因，我们就很有可能从中发现该说法正确的原因。小波尔约没有接受父亲善意的建议，而是像很多前辈一样，持之以恒地尝试证明平行公设是由欧几里得的前4条公理推导而来的。他同样遭遇了失败，但不同的是，他对自己的失败理解得非常透彻。他在证明不符合平行假设的几何体并不存在时屡屡碰壁，正是因为这种几何体其实是存在的。每次失败之后，他都对这个本以为不存在的几何体的特征更加了解，直到最终看到它的庐山真面目。
白天证明、晚上反证的做法不仅适用于数学，还可以对我们的社会、政治、科学与哲学理念施加压力。在白天时，尽可以相信自己的理念是正确的，但是到了晚上，则认真思考自己的理念是不是错误的。不要自欺欺人！尽管我们并不相信这些理念是错误的，在思考时也要尽可能地让自己相信它们是不正确的。如果我们无法摆脱现有理念的束缚，则说明我们对自己深信不疑的理由有了更深入的了解，离找到证明方法也就更近了一步。
我在这里说句题外话。上面介绍的这种有益的脑力锻炼与斯科特·菲茨杰拉德所说的远不是一回事。1936年，菲茨杰拉德在散文《崩溃》（The Crack-Up）中描述了自己处于破产、无助的状态，表明了他的态度——相互矛盾的理念可以并存于头脑之中。当时，在他思想中相互矛盾的两个理念是“努力奋斗的徒劳感与奋力拼搏的必要性”。塞缪尔·贝克特（Samuel Beckett）的表达更加简洁：“我必将死去，但我还会继续活着。”菲茨杰拉德所谓的“一流的智力”，是对自己智力水平的否认。他认为，在矛盾的压力之下，他已经名存实亡，过着行尸走肉的生活。这样的命运与弗雷格的集合论，以及在库克悖论的侵扰下停止运行的机器人没有多少区别。（“家燕”乐队的《骑墙》这首歌中的另外两句歌词堪称《崩溃》的浓缩版本：“我从一开始就欺骗自己/我发现自己正在走向崩溃。”）菲茨杰拉德因为自我怀疑而气馁，继而萎靡不振，整天沉溺于写作与反省之中，西奥多·罗斯福最厌恶这种自艾自怜的文学青年。
华莱士对悖论也充满兴趣。华莱士延续着自己在数学研究中的风格，将罗素悖论作为自己的第一部小说《命运的笤帚》（The Broom of the System）的主题。如果说他的创作动机源自与矛盾的抗争，这个说法可能有点儿过了。华莱士喜欢采用技术与分析的方法去抵御毒品、绝望以及荒谬的唯我论，但是他认为简简单单的宗教格言与自助书籍的效果更好。他非常清楚，作家在写作时应该站在其他人的立场上去思考问题，但是写作的主要目的则应该是揭示思想对自我的禁锢。他决心记录并消除先入为主的偏见给自己带来的影响，但是他也知道，一旦做出这个决定，其本身就是一种偏见，而且他会受到这些偏见的影响。毫无疑问，这是“哲学101”课程中所讨论的问题，但是数学系的学生都知道，我们在大学一年级遇到的某些老问题的内容非常深奥。华莱士与悖论之间的纠葛在数学研究中并不鲜见。我们认为两个假设似乎相互矛盾，于是我们开始研究它们。在大脑中同时装入相互矛盾的两个假设，按部就班地梳理矛盾，区分知识与理念，逐一审视这两个假设，直到最终发现真理，或者尽可能地接近真理。
至于贝克特，他的矛盾观更加意味深长，这在他的作品中有所反映，而且充满感情色彩。“我必将死去，但我还会继续活着”，这句话让我们感受到他的心灰意冷。与此同时，贝克特也会运用毕达哥拉斯门徒证明2的平方根是无理数的方法，把它变成醉汉之间的玩笑。
“别骗我，”尼亚里说，“否则等待你的将是希帕索斯的下场。”
“你说的是那位声闻家吧？”魏利（Wylie）说，“我一下子想不起来他到底遭受什么惩罚了。”
“被扔到水里淹死了。”尼亚里说，“因为他泄露了直角三角形的直角边与斜边不可通约的秘密。”
“爱唠叨的人都会倒霉。”魏利说。
我不知道贝克特在数学上的造诣到底有多深，但是在散文《最糟糕，嗯》（WorstwardHo）中，他用非常简洁的语言高度概括了在数学研究中失败的价值。
曾经尝试过，也失败过，但是没关系，再尝试、再失败，每一次失败都是进步。
我们每时每刻都会用到数学知识
本书中提及的这些数学家提出了各种无法证明的不确定性，但他们的目的并不是让我们感到泄气，他们也不仅仅是一些重要的批评家，他们都在数学领域有所发现、有所建树。例如，高尔顿提出了回归平均值的概念；孔多塞建立了新的社会决策模式；小波尔约创建了全新的几何学——一个“新奇的世界”；香农与海明提出了自己的几何学，用圆与三角形代替数字符号构建出新的空间；瓦尔德为飞机在必要的位置加装了装甲。
所有的数学家都做出了自己的贡献，有的非常重要，有的略逊一筹。关于数学的文献作品都具有创新性：我们在数学领域创造的实体不会受到物理知识的限制，可能是有限的，也可能是无穷的；可能存在于我们的现实世界中，也可能只存在于想象中。正因为这样，外行有时会以为数学家整日沉溺于幻想的世界中，满脑子都是危险的虚构场景，有可能导致数学造诣不深的人发狂，甚至走火入魔。
但是，我们知道，这种观点是不正确的。数学家不是疯子，不是外星人，也不是神秘主义者。
事实上，数学方面的顿悟（突然之间对正在发生的事有了清晰的了解）具有特殊性，而在生活的其他方面则几乎不可能有类似的感觉。一旦产生这种顿悟，我们就会觉得自己触及宇宙的本质，将要揭开惊天的秘密，但这种感觉只可意会不可言传。
对于我们创造的新实体，我们也不能为所欲为。我们需要为它们下定义，在有了定义之后，它们就不再是虚构的东西，而是像树木与鱼虾一样，具有特定的内涵。数学研究从头到尾都让人充满激情，同时要受到理性的束缚。但这并不矛盾，逻辑会给我们留出一点儿狭小的缝隙，当直觉穿过这道缝隙之后将会发出耀眼的光芒。
数学给我们的教训非常简单，与数字无关。数学告诉我们：世界是有结构的；我们可以期待去了解它的部分结构，但不可能像我们想象的那样一蹴而就；在披上形式主义的外衣之后，我们的直觉将会变得更加强大。数学上的确定性，与我们在日常生活中形成的信念并不是一回事，后者的确定程度不及前者，我们必须充分认识到两者之间的区别。
数学是常识的衍生物，有的活动虽然没有被表示成一个方程式，或者被画成一幅图，却同样属于数学活动。例如，你会发现好的东西未必是更优的选择；在机会足够多的情况下不可能的事情也会发生，并因此抵制住巴尔的摩股票经纪人的诱惑；决策时不仅要考虑所有可能的未来，还要考虑所有可能事件的影响，密切关注哪些事件可能发生、哪些事件不太可能发生；摒弃群体信念与个体信念应当遵循相同规则的认识；为认知找到最佳的平衡点，使直觉在形式主义推理铺设的康庄大道上自由驰骋。你打算什么时候应用你学到的数学知识呢？事实上，从你呱呱坠地开始，你可能就一直在使用这些数学知识。从现在开始，充分利用这些数学知识吧。
【注释】
[1]科特·柯本（1967～1994），美国已故著名摇滚歌手。——译者注
[2]2008年美国参议院选举期间，时事评论员阿尔·弗兰肯和在任参议员诺姆·科尔曼之间展开激烈角逐。在选举过程中，科尔曼指责弗兰肯是潜伏在人类当中的“蜥蜴人”。
[3]库克船长是电影《星际迷航》（StarTrek）中的一个虚构角色。——译者注
免责声明：以上内容源自网络，版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。
