形式主义简洁明了、毫不花哨，对哈代、萨卡里亚和我这样的人来说极具吸引力。看到一套严格的理论杜绝了自相矛盾的情况，我们就会感到心情舒畅。但是，始终如一地坚持这些原则并非易事，而且未必明智。如果法律条文可能导致荒谬的判决，就连法官萨卡里亚也会偶尔做出让步，将这些条文抛到脑后。同样，无论科学家们声称自己要坚守哪些原则，他们都不希望受到显著性检验的严苛限制。假设我们同时做两个实验，一个实验测试在理论上有效的治疗措施，另一个测试死掉的鲑鱼是否会在浪漫的照片面前产生情绪变化。两个实验都取得了成功，p值为0.03，但是，我们不会对这两个结果采取同样的态度。在得出荒谬的结论时，我们会以怀疑的眼光详加审视，而把规则抛到一边。
数学界最伟大的形式主义大师是德国数学家戴维·希尔伯特（David Hilbert）。1900年，希尔伯特在巴黎国际数学大会上提交的23个数学问题，为20世纪的众多数学研究指明了方向。即使100多年过去了，人们仍然极为推崇希尔伯特。任何研究，只要与他的这些问题有一点儿相关性，都会受到人们的关注。有一次，我在俄亥俄州哥伦布市遇到一位研究德国文化的历史学家，他告诉我，当今的数学界非常流行凉鞋加短袜的搭配风格，原因就是希尔伯特曾经热衷于这种装扮。我无法验证这是否属实，但是我觉得它非常可信，而且与希尔伯特的影响力持续时间之久这个事实不谋而合。
在希尔伯特提出的这些问题中，有些问题很快就得到了解决；有些问题，例如涉及最密集的球状填充的第18个问题，直到最近才有人找到了解决方法；还有些问题至今悬而未决，很多人正在孜孜不倦地试图解决它们。如果有人能解决第8个问题，即黎曼假设问题，就可以得到克莱基金会100万美元的奖励。但是，伟大的希尔伯特至少犯过一次错误。他在第10个问题中提出，应该存在某种算法，对于任意方程式，都能告诉我们该方程式的所有根是否都是整数。20世纪六七十年代，马丁·戴维斯（Martin Davis）、尤里·马季亚谢维奇（Yuri Matijasevic）、希拉里·普特南（Hilary Putnam）和茱莉亚·罗宾逊（Julia Robinson）发表了一系列论文，指出这种算法是不存在的。（世界各地的数论学家因此松了一口气，他们在这个研究领域浸淫多年，如果有人证明某个形式主义的算法可以自动解决这些问题，他们可能会感到很沮丧。）
希尔伯特的第二个问题比较另类，因为它研究的并不是数学本身的问题，而是通过这个问题，对数学领域中的形式主义研究方法表示赞同。
我们在研究某一门科学时必须确定一系列公理，对该科学的基础观点之间存在的各种关系给出准确、完整的描述。同时，在这个科学领域中，只有从既有公理出发经过有限步骤的逻辑推理得出的结论，才会被视为正确的观点。
在巴黎做这次报告之前，希尔伯特已经重新审视并改写了欧几里得的5条公理，消除了所有歧义，而且彻底摒弃了对几何学的直观要求。经过他的修改，即使把“点”“直线”代之以“青蛙”“金橘”，这些公理也同样成立。希尔伯特本人说过一句非常有名的话：“无论何时，我们用‘桌子’‘椅子’‘啤酒杯’来表示点、直线和面，都不会引起任何问题。”年轻的亚伯拉罕·瓦尔德是希尔伯特几何学的早期崇拜者之一，他指出在希尔伯特的这些公理中，有的可以从其他公理推导得出，因此这些公理是可有可无的。
在完成几何学的相关研究之后，希尔伯特并没有满足，他的梦想是创建一个纯粹形式主义的数学体系。在这个数学体系中，说某个语句是正确的，或者说该语句遵从一开始就确定好的规则，这两个说法是完全等价的。安东尼·萨卡里亚式的数学家肯定乐意接受这样的观点，意大利数学家朱塞佩·皮亚诺（Giuseppe Peano）率先确立了一系列算术公理。这些公理不会引发任何有意思的问题或者争议，比如，“0是一个数字”，“如果x等于y，y等于z，那么x等于z”，“如果紧跟在x之后的数字与紧跟在y之后的数字相同，那么x与y相等”，它们大都是显而易见的事实。
皮亚诺公理有一个显著的特点：从这些最基本的公理出发，可以取得大量数学成果。这些公理本身似乎仅针对整数，但是皮亚诺本人指出，以他的这些公理为基础，只需借助概念和逻辑推理，就可以定义有理数并证明有理数的基本属性。19世纪的数学界充斥着迷惘与危机，因为有人发现解析学与几何学中被广泛接受的定义存在逻辑上的缺陷。希尔伯特认为，形式主义为科学所构建的基础坚不可摧，不会引发任何争议，因此可以用它来消除缺陷。
但是，“希尔伯特计划”的上方笼罩着一片阴影——自我矛盾的阴影，我们可以想象出这个梦魇般的情景。数学界精诚团结，在公理的基础之上，逐步搭建起囊括数论、几何学与微积分的整个结构，使用的“砖石”是那些新定理，黏合剂则是推理规则。然后，某一天，阿姆斯特丹的一位数学家证明某个数学定理是对的，而东京的另一位数学家却证明这个定理是错的。
在这种情况下，我们应该怎么办呢？从没有任何疑问的公理却得出了自相矛盾的结果。根据归谬法，我们应该判定是公理出问题了，还是逻辑推理结构出错了？几十年来我们基于这些公理完成的研究该如何处理呢？
因此，希尔伯特在巴黎国际数学大会上提交的第二个问题是：
关于这些公理，人们有可能会提出无数疑问，但是，我首先希望解决的最重要的问题是：证明这些公理并不是自相矛盾的，即在这些公理的基础上经过有限步骤的逻辑推理，绝不会得出自相矛盾的结果。
人们往往会不假思索地认为自相矛盾这个讨厌的结果不会出现，怎么可能会发生这种情况呢？这些公理显然是正确的。但是，在古希腊人看来，几何图形的大小必然是两个整数的比，这是很明显的事实，因为他们就是这样理解“度量”这个概念的。不过，勾股定理与2的平方根这个不容置疑的无理数，动摇了他们的整个理论架构。数学家有一个恶习，即以证明某些明显正确的东西其实是彻头彻尾的错误为乐。我们以德国的逻辑学家戈特洛布·弗雷格（Gottlob Frege）为例，他与希尔伯特非常相似，也一直致力于建立数学的逻辑基础。弗雷格关注的不是数论，而是集合论。他的出发点也是一系列公理，这些公理显而易见是正确的，因此在这里无须赘述。在弗雷格的集合论中，集合就是一系列对象，即元素。我们通常用波形括号来表示集合，并把各元素置于括号内。因此，｛1，2，猪｝就是一个集合，元素包括数字1、2与猪。
如果有些元素之间具有某种共性，而其他元素不具备这种特性，那么，具有该特性的元素又可以构成一个集合。简单地讲，我们现在有一个猪的集合，在这些猪当中，黄毛猪又可以构成一个集合，即黄毛猪集合。我们很难对此提出异议，但是，这些概念实在太宽泛了。一个集合可以包括一群猪、一堆实数或概念（例如多个宇宙），还可能包括其他集合，而导致问题出现的就是其他集合。是否存在包含所有集合的集合呢？肯定是存在的。是否存在包含所有无穷集合的集合呢？当然也会存在。事实上，这两个集合有一个非常奇怪的共性：它们都是自身的元素。例如，包含所有无穷集合的集合，其本身也肯定是一个无穷集合，包含｛整数｝｛整数，猪｝｛整数，埃菲尔铁塔｝之类的元素。很显然，这些元素不胜枚举。
我们可以类比神话中那条吃掉自己尾巴的饥饿的蛇，把这种集合称作“贪吃蛇集合”。因此，包含无穷集合的集合就是贪吃蛇集合，而｛1，2，猪｝则不是贪吃蛇集合，因为该集合不是自身的一个元素，其所有元素都是数字或者猪，而不是任何集合。(www.xing528.com)
有意思的情况出现了。假设NO为所有非贪吃蛇集合构成的集合。NO这样的集合似乎难以想象，但是，如果弗雷格的定义允许这样的集合出现，就必然存在这样的集合。
那么，NO是否是贪吃蛇集合呢？换言之，NO是否是其自身的一个元素呢？根据定义，如果NO是贪吃蛇集合，那么NO就不可能是NO的元素，因为NO只包含非贪吃蛇集合。但是，如果NO不是NO的元素，就说明NO是非贪吃蛇集合，因为NO不是NO的元素。
不过，别忘了，如果NO是非贪吃蛇集合，那么它必然是NO的一个元素，因为NO是所有非贪吃蛇集合的集合。如果NO真的是NO的元素，就说明NO是贪吃蛇集合。因此，无论我们认为NO是或者不是贪吃蛇集合，都不正确。
1902年6月，年轻的伯特兰·罗素在给弗雷格的信中就做出了类似的推理。罗素在巴黎国际数学大会上遇到了皮亚诺，至于他是否出席了希尔伯特的讲座就不得而知了，但是，对于将数学简化为一连串始于基础性公理、无任何瑕疵的推理过程的观点，他毫无疑问是赞成的。罗素这封信的开头部分看似在向这位年长的逻辑学家表达崇拜之情：“你的所有主要观点，特别是你反对在逻辑推理中掺杂任何心理因素，以及对数学基础与形式主义逻辑（顺便说一句，两者几乎无法区分）的重视程度，我完全赞同。”但是，随后的一句话写道：“只有一个问题让我觉得很难理解。”
接着，罗素解释了NO给他带来的困惑，这就是后来被人们称为“罗素悖论”的问题。
在这封信的结尾，罗素对弗雷格的《算术基础》（Grundgesetze）第二卷仍未出版一事表示遗憾。事实上，在弗雷格收到罗素这封信时，这部书已经完成正准备印刷。尽管罗素的来信非常恭敬（“我很难理解”，而不是说“我刚刚推翻了你毕生研究的成果”），但是弗雷格立刻意识到罗素悖论对他的集合论意味着什么。书稿已经来不及修改了，于是他赶紧在书后附上了补充说明，介绍了罗素的颠覆性见解。弗雷格的这番解释可能是数学技术性著作中最忧伤的表述：“在研究刚刚完成时，研究的基础却被推翻了，这是科学家最不愿意见到的事。”
希尔伯特等形式主义者绝不希望公理中藏有定时炸弹，即存在自相矛盾的情况，他希望数学的框架能确保一致性。希尔伯特并不认为算术中可能隐藏着自相矛盾的地方，同大多数数学家甚至大多数普通人一样，他相信算术的标准规则都是关于整数的正确表述，因此不可能相互冲突。但是，这还不够，因为这个信念的基础是假定整数集的确存在。很多人都认为这个问题非常棘手。几十年前，格奥尔格·康托尔首次站在严谨的数学立场上提出了“无穷”的概念，但是他的这个成果难以理解，也不易得到广泛认可，而且有一大群数学家认为，依赖于无穷集合的任何证明过程都值得怀疑。出现数字7时，大家都愿意接受，而出现所有数字的集合这类概念时却会引起争议。希尔伯特非常清楚罗素的所作所为对弗雷格的意义，也清楚对无穷集合进行随机性推理会造成哪些危险。1926年，希尔伯特指出：“认真的读者会发现数学文献中充斥着大量愚蠢、荒谬的错误，这些错误的根源就在于无穷这个概念。”（这样的语调用于安东尼·萨卡里亚的异议声明是比较妥当的，他的那些声明读起来更加令人胆战心惊。）希尔伯特希望找到关于一致性的有限性的证明方法，一种无须依赖于任何无穷集合，只要是有理性的人便会心甘情愿地全盘接受的证明方法。
但是，希尔伯特的愿望是无法实现的。1931年，库尔特·哥德尔（Kurt Gödel）在他的著名的第二条不完全性定理中，证明了关于算术一致性的有限性的证明方法是不存在的，这对希尔伯特的计划是致命一击。
大家会不会担心明天下午所有数学家都会因为受到类似的打击而崩溃呢？无论有什么情况发生，我都不会担心。我相信无穷集合是有道理的，借助无穷集合完成的一致性证明也是可靠的。
大多数数学家都和我持一样的态度，但是，也有人持有异议。2011年，普林斯顿大学的逻辑学家爱德华·尼尔森到处宣传一个关于算术不一致性的证明方法。（值得庆幸的是，陶哲轩在几天之后就发现尼尔森的证明中有一个错误。）2010年，现在普林斯顿大学高等研究院任职的菲尔兹奖得主弗拉基米尔·沃沃斯基（Vladimir Voevodsky）宣称，他认为没有理由相信算术具有一致性，这引起了大家的注意。他与不同国家的多名合作者一起，为数学提出了一个新的基础。希尔伯特以几何学为出发点，但是他很快发现算术的一致性是一个基础性更强的问题。与之相反，沃沃斯基等人则认为几何学是基础性的数学领域，不是因为几何学是欧几里得非常熟悉的内容，而是因为更具有现代性的“同伦论”（homotopy theory）支持这种观点。他们提出的这个数学基础会不会遭到怀疑或导致自相矛盾的结果呢？再过20年我会告诉你答案，因为只有时间才能做出回答。
尽管希尔伯特的形式主义计划夭折了，但是他在数学研究方面的风格却延续下来。甚至在哥德尔完成他的那项研究之前，希尔伯特就已经明确表示，他并不希望运用从本质上讲属于形式主义的方法构建数学，因为难度太大了！即使可以另起炉灶，把几何学研究变成摆弄无任何意义的符号串，但是，如果不绘制、想象几何图形，不把几何物体看成真实的事物，任何人都不可能在几何研究领域有所建树。这种观点通常被称作“柏拉图主义”（Platonism），但是，我哲学界的朋友大多对此嗤之以鼻：现实中怎么可能存在15维超级立方体呢？我只能告诉他们，在我看来，这样的东西与山脉没有任何不同，都是真实存在的事物，原因很简单，我能为15维超级立方体下定义。大家是不是也可以为一座山下定义呢？
但是，我们的身上都有希尔伯特的影子。周末和一些哲学家喝啤酒时，他们取笑我们连研究对象是什么都没有搞清楚，我只能辩解说：我们在研究中的确要依靠几何直觉，但是我们知道我们的最终结论是正确的，因为我们有形式主义的证据作为后盾。菲利普·戴维斯（Philip Davis）和鲁本·赫什（Reuben Hersh）说得非常好：“通常，从事研究的数学家在工作日里都信奉柏拉图主义，到了周末则信奉形式主义。”
希尔伯特并不希望颠覆柏拉图主义，而是希望为几何学等学科奠定坚实的形式主义基础，从而捍卫柏拉图主义，使我们在周末和工作日里都能心安理得。
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