数学思维力量：创造新奇世界魔鬼数学

孔多塞认为，“谁是最佳领导人”之类的问题都有一个正确答案。他还认为，公民就是研究此类问题的某种科学工具，虽然这种工具会有测量失准的风险，但总体来讲最终是能够得出准确结果的。在他看来，民主与少数服从多数原则都不可能错，都能通过数学方法得到验证。

现在，讨论民主的方式已经发生了改变。对我们大多数人而言，民主的选择方案之所以有吸引力，原因在于其公平性。我们讨论的是公民的权利，认为人民应当可以选择自己的领导人（无论他们的选择是否明智），并把这个信条视为道德的基础。

不仅政治如此，思维活动的所有领域都应该遵从这一基本认识：我们是不是正在考虑是非问题，或者正在思考我们所遵循的规则与程序允许哪些结论呢？这两个概念通常是一致的，但是，一旦出现分歧，就会招致各种困难，并引发概念性问题。

大家可能认为做出是非判断是我们应该做的事，但在涉及刑事案件时，情况有可能会发生变化。比如，被告确实有犯罪行为却无法宣判有罪（因为获取证据的方法不当），或者没有犯罪却因为某种原因被判有罪。在惩戒犯罪、释放无辜者与严格执行刑事审判程序之间，正义该如何做出选择呢？我们已经见识了费舍尔与内曼及皮尔逊之间的纷争，我们应该接受费舍尔的观点，想方设法弄清楚我们相信的假设中有哪些是正确的；还是根据内曼-皮尔逊的观点，根本不考虑假设是否正确的问题，而思考另一个问题：我们应该根据所选择的推理方法，证明哪些假设（无论真实与否）是正确的呢？

即使在数学这个被普遍视为确定性乐土的领域中，我们也会遇到上述问题。而且，这些问题不是来自当代某个晦涩难懂的研究领域，而是存在于古老的经典几何学之中，即我们前文提及的欧几里得公理。它的第五条是：

如果P是一个点，L是不经过P的一条直线，那么有且只有一条直线通过点P且与L平行。

这条公理是不是有点儿古怪呢？与其余4条公理相比，它复杂得多，而且不是那么显而易见。不管怎么说，几百年以来，几何学家们都有这种感觉。人们认为欧几里得本人也不喜欢这条公理，因为他在证明《几何原本》的前28个命题时只使用了前4条公理。

简洁性有所欠缺的公理就像角落里地板上的污点一样，从本质上讲不会造成麻烦，但却令人无法容忍，因此我们会花大量时间擦拭污点，想让地板变得光亮整洁。数学中的“抛光”工作就是要证明第五条公理，即所谓的“平行公设”是由其他公理推导得出的。如果确实如此，人们就可以把它从欧几里得公理中剔除出去，使欧几里得公理一尘不染、熠熠生辉。

在经过两千年的擦拭之后，这个“污点”还在那里。

1820年，匈牙利贵族法卡斯·波尔约（Farkas Bolyai）在多年探索该问题无果之后，送给他的儿子雅诺什·波尔约（Janos Bolyai）以下忠告：

你千万不要走尝试证明平行公设这条路，我非常清楚走这条路的最终结果。这是一条不归之路，在我走上这条路后，我的人生丧失了所有光明与欢乐。我恳求你不要去研究平行问题……为了去除几何学中的瑕疵，还人类一门完美无缺的科学，我甘愿献出自己的生命。在我历尽艰辛之后，取得了远胜于同行的成果，但是我仍然没有得偿所愿……在发现没有人可以走完这段黑暗历程之后，我终于退缩了，没有得到任何安慰，内心充满了对自己、对整个人类的怜悯之情。你一定要吸取我的教训……

不是所有人都会接受父亲的建议，数学家也不会轻言放弃。小波尔约持之以恒地研究平行问题，终于在1823年粗略回答了这个古老的问题。他在给父亲的信中说：

我有了一些奇妙的发现，连我自己都震惊不已。如果忽视这些发现，将造成永远无法弥补的损失。亲爱的父亲，等你看到我的这些成果你就会明白，但现在我只能告诉你：我凭空创造了一个新奇的世界。

在研究这个问题时，小波尔约另辟蹊径，不是试图通过其他公理来证明平行公设，而是充分发挥想象力，采取了逆向研究的方式。他想，如果平行公设是错误的，会产生什么结果呢，会不会得出自相矛盾的结论？随后，他发现这个问题的答案是否定的，因为有一门几何学与欧几里得几何学不同。在这门几何学中，前4个公理都是正确的，但平行公设却是错误的。因此，不可能用其他公理来证明平行公设，否则波尔约几何学就不可能存在。但问题是，波尔约几何学的确存在。

有时候，数学成果会出现“撞车”现象。在数学界终于迎来某个突破时，这种突破竟然会在几个地方同时发生。为什么会出现这种情况，原因还不得而知。当小波尔约在奥匈帝国埋头构建非欧几里得几何学时，尼古拉·罗巴切夫斯基（Nikolai Lobachevskii）正在俄罗斯开展同样的工作，而老波尔约的老朋友高斯已经完成了很多类似的研究工作，只不过还没有发表。（在听说了小波尔约的论文之后，高斯有失风度地说：“如果我赞扬他的成果，那就是赞扬我自己。”）

限于篇幅，这里无法详细介绍小波尔约、罗巴切夫斯基、高斯的所谓“双曲几何学”（hyperbolic geometry）。不过，几十年之后，伯恩哈特·黎曼（Bernhard Riemann）发现，简化版的非欧几里得几何学根本算不上是一个新奇的世界，它其实就是球面几何学。

让我们重温一下欧几里得公理的前4条：

·任意两点可以通过一条直线连接；

·任意线段能延长为任意长度的直线；

·给定任意线段L，都可以以其为半径画一个圆；

·所有直角都相同。

大家可能注意到了，其中包括的几何术语有点、直线、圆与直角。事实上，按照严格的逻辑，名称并不重要，即使我们把这些术语叫作“青蛙”“金橘”，根据这些公理进行的逻辑推理的结构也不会发生任何变化。法诺平面中的“直线”与我们在学校里学习的直线似乎并不相同，但却不会引起任何问题，关键是从几何规则来看它们具有直线的特点。从某种意义上讲，把所有的点叫作“青蛙”，把所有的直线叫作“金橘”，可能效果会更好，因为这样命名可以让我们摆脱“点”与“直线”的真实含义给我们造成先入为主的偏见。

在黎曼的球面几何学中，“点”指球面上的对跖点，即同一直径的两个端点，“直线”是一个“大圆”，即球面上的圆，而“圆”还是圆，不过在球面几何学中圆的大小可以是任何尺寸。

在这样定义之后，根据欧几里得公理的前4条，任意“点”（球面上的对跖点）可以通过一条“直线”（大圆）连接。此外，任意两条“直线”相交于一个“点”（尽管这不是欧几里得公理）。

大家可能会对欧几里得公理的第二条产生怀疑：“线段”绝对不会比“直线”长，因为“直线”就是球面的圆周线，那么我们怎么能说“线段”可以无限延长呢？这个反对理由非常有道理，但是关键要看如何解读这条公理。根据黎曼的理解，该公理不是说直线的长度是无限的，而是指直线具有“无界性”（boundless），这两个概念之间有细微的区别。黎曼直线（圆）的长度是有限的，但是具有无界性，这些直线可以一直延伸下去，没有尽头。

但是，欧几里得公理的第五条却有所不同。假设我们有“点”P和不经过P的“直线”L，那么，是否有且只有一条“直线”通过P且平行于L呢？答案是否定的，原因很简单：在球面几何学中，根本不存在所谓的“平行直线”，球面上任意两个大圆都会相交。

我们简要证明一下这个结论。任意大圆C都会把球体表面分割成两个面积相等的部分，它们的面积为A。假设另一个大圆C'平行于C，由于C'与C不相交，C'必然完全位于C的某一侧，即位于面积为A的两个半球面中的一个之上。这就意味着C'分割的球体面积小于A，而这是不可能的，因为任意大圆分割的球体面积都正好等于A。(www.xing528.com)

因此，平行公设以一种极为悲壮的方式轰然倒地。（波尔约几何学的证明情况则正好相反。平行线的数目不仅不少，反而有很多，经过“点”P且平行于L的直线有无数条。可以想象，直观地展示这种几何体的难度很大。）

任何两条直线都不平行的情况虽然很奇怪，但是我们对此并不陌生，因为我们在前文中已经见过了。它与我们在射影平面中见到的现象是一样的。布鲁内莱斯基等画家借助这个现象建立了透视理论，在透视理论中，每两条直线都会相交。这不是巧合，我们可以证明黎曼球面上由“点”与“直线”构成的几何体与射影平面中的几何体是相同的。

在把点与直线理解成球面上的“点”与“直线”之后，欧几里得公理中的前4条是正确的，但是第五条却不正确。如果第五条公理是前4条公理的逻辑推理产生的，球面的存在就会导致自相矛盾的情况：第五条公理既是正确的（由于前4条公理是正确的），又是不正确的（根据我们对球面的了解）。如果欧几里得公理的第五条是正确的，根据屡试不爽的古老方法——归谬法，我们就会得出球面不存在的结论。但是，球面是肯定存在的，因此，第五条公理不可能借助前4条公理进行证明。证明完毕。

看来，要把地板上的“污点”擦拭干净，真的需要费一番工夫。但是，证明这类问题的动机不仅仅是对美学的执着（无可否认，这的确是动机之一）。其原因还在于，一旦我们发现前4条公理适用于多种几何学体系，那么，欧几里得仅仅根据这4条公理证明是正确的所有定理，不仅在欧几里得几何学中是正确的，在其他几何学中也都是正确的。因此，这是数学中的一种放大器，完成一个证明过程，可以证明多个定理。

而且，这些定理并不是只为了证明某一个问题而建立的抽象几何学体系。在后爱因斯坦时期，我们知道非欧几里得几何学不仅仅是一个游戏，无论我们喜欢与否，它反映的都是时空的本来面目。

在数学领域，当我们找出了某个问题的解决方法之后，如果它确实有效，包含了某种新观念，那么我们通常会发现，这个方法可以应用于多种不同的情况，即便各种情况大相径庭，就像球面与平面远不是一回事一样。这种情况在数学界经常出现。目前，意大利的年轻数学家奥利维亚·卡拉麦罗（Olivia Caramello）引起了大家的注意。她认为，很多理论可以在不同的数学领域中发挥影响力，实际上这些理论之间的联系非常紧密，用术语表达的话就是，它们属于同一个“格罗腾迪克拓扑斯”（Grothendieck topos）。因此，在一个数学领域中得到证明的定理，无须再做证明，就可以在另一个看上去完全不同的数学领域中作为定理使用。现在，认为卡拉麦罗像小波尔约一样真的“创造了一个新奇的世界”还为时过早，但是她的研究的确与小波尔约一样，没有违背数学界长期遵循的传统。

这个传统就叫作“形式主义”（formalism）。哈代在赞赏19世纪的数学家时，谈到的也是这个传统。对于诸如1-1+1-1+……的难题，这些数学家终于不再执着于寻找正确的答案，转而研究如何对它们进行定义的问题。因为这个改变，他们成功地避开了令之前的数学家们头疼不已的“不必要的困扰”。在这种纯理论研究面前，数学变成了一种符号与文字游戏。只要某个语句是根据公理有逻辑地推导得出的，就可以被视作定理。但是，公理和定理指什么、有什么含义，则需要我们定夺。“点”、“直线”或者“金橘”指什么？这些概念可能指具有公理所要求特性的任何事物，至于它们指什么，我们应该选择适合当前需要的含义。一种纯理论的形式主义几何学，从原则上讲，无须让我们看到甚至想象任何点或者直线，至于寻常人如何理解这些点与直线则是一个毫不相干的问题。

哈代肯定认为孔多塞感受到的痛苦是一种最没有必要的困扰。他可能会建议孔多塞不要追究到底谁才是众望所归的人选，或者不要考虑民众到底希望哪一位候选人当选，而应该认真研究我们如何定义哪位候选人是民众的选择。对待民主问题的这种形式主义观点，在当今这个自由世界十分盛行。在遭到质疑的佛罗里达州2000年总统大选中，由于“蝶形选票”的设计容易误导选民，导致棕榈滩县有几千名选民本来要投阿尔·戈尔一票，结果却把票投给了改革党“传统保守派”候选人帕特·布坎南。如果戈尔得到了这些选票，他就有可能在佛罗里达州的选举中获胜，甚至当选总统。

但是，戈尔与这些选票失之交臂，而且他没有对此提出异议。美国的选举制度就是一种形式主义的产物：它关注的是选票上的标记，而不是这种标记的含义，即选民的意图。孔多塞希望我们关注选民的意图，而我们（至少官方）却根本不考虑选民到底想要什么。孔多塞还希望我们关注支持拉尔夫·纳德的佛罗里达人，而我们推测（似乎理由非常充分）大多数佛罗里达人对戈尔的支持度超过小布什。因此，我们认为，根据孔多塞公理，胜利者将是戈尔，因为大多数人都觉得他比小布什强，而且有更多的人认为他比纳德强。但是，这些倾向与我们的选举制度无关，因为我们把在投票站收集的纸条上出现频次最高的标记视为民众的意愿。

当然，选票统计数据本身也引起了争议。那些打孔不彻底的选票，即所谓的孔屑未完全脱落的选票，该如何计票呢？从海外军事基地邮寄的选票，有的无法确定是在投票日当天还是之前寄出的，又如何处理呢？为了尽可能准确地统计出真实的票数，佛罗里达州各县的计票工作需要重复进行多少次呢？

人们对最后一个问题争论不休，直到美国最高法院做出判决。戈尔的团队曾经要求完成选举工作的各县重新计票，佛罗里达州高等法院也表示同意，但是美国最高法院对此予以否决，并把最终计票结果定为小布什以537票领先，判决小布什在该州的选举中取得了胜利。计票次数越多，结果应该越准确，但最高法院认为，这不是选举的最高目标。他们认为，只有一部分县重新计票，这对那些没有重新计票的县是不公正的。该州应该采取的做法不是尽可能准确地计票（统计真实的得票情况），而是遵守选举制度这种形式上的协议。用哈代的话说，这种协议会告诉我们应该判定哪位候选人为胜利者。

从更具一般性的意义来看，法律上的形式主义自认为是对程序、法规的坚持，即使（或者说尤其）在这些程序、法规违背常识时，他们也不会放弃这种坚持。法官安东尼·萨卡里亚是法律形式主义最坚定的倡导者，他直言不讳地说：“形式主义万岁！只有形式主义才能决定一个政府实施的是法治，而不是人治。”

在萨卡里亚看来，如果法官试图了解法律的意图（精神），他们肯定会受到偏见与欲望的误导。最好的做法就是坚持遵守宪法与法规的规定，把这些规定看成公理，然后通过逻辑推理等手段做出判决。

在刑事诉讼问题上，萨卡里亚同样笃信形式主义。他认为，从本质上讲，只要符合审判程序，法庭做出的任何判决都是公正的。他对2009年特洛伊·戴维斯（Troy Davis）一案做出的判决就非常清楚地表明了他的这种立场。萨卡里亚认为，在已经宣判被告犯有谋杀罪之后，即使9名指证他的证人中有7人推翻了自己的证词，被告也无权要求新一轮的证据听证。

美国最高法院一直认为，宪法绝不会禁止对经过完整、公正的审判并被判有罪，但之后成功地让人身保护法院相信他其实无罪的被告执行死刑。

（萨卡里亚的原文对“绝不会”一词进行了加粗处理，同时为“其实”一词加上了醒目的引号。）

萨卡里亚指出，对法院而言，重要的是陪审团的意见。如果陪审团认为戴维斯犯有谋杀罪，那么无论他是否杀了人，他的谋杀罪都会成立。

与萨卡里亚不同，首席大法官约翰·罗伯茨（John Roberts）并不是一位形式主义的坚定倡导者，但他对萨卡里亚的观点总体上是持赞成态度的。2005年，他在正式就任首席大法官之前的参议院听证会上以棒球比赛做类比，描述了自己所从事的工作。

法官应遵循法律的旨意，而不是凌驾于法律之上。法官就像棒球场上的裁判，不是规则的制定者，而是规则的执行者。裁判与法官的作用至关重要，要确保所有人都遵守规则。但是，这种作用是有限的。大家想看的是球赛，而不是裁判的表演。

不管有意还是无意，罗伯茨的这个观点与“棒球裁判之父”比尔·克莱姆（Bill Klem）不谋而合。克莱姆在美国棒球联赛中担任裁判有将近40年的时间，他曾说过，“最优秀的裁判应该让球迷不记得球场上有裁判”。

但是，裁判并不像罗伯茨与克莱姆认为的那样只能发挥有限的作用，原因在于棒球是一种形式主义的运动。大家看一下1996年美国棒球联赛决赛的第一场比赛就能明白这个道理，比赛双方是巴尔的摩金莺队与纽约扬基队，比赛地点是纽约的布朗克斯棒球场。金莺队在第八局快结束时领先扬基队，这时，扬基队的游击手德瑞克·基特打出了一记长距离腾空球，球飞向金莺队的中继投手阿曼德·班尼特兹（Armando Benitez）一侧的右外场。这一次击打非常漂亮，但是没有超出中场手托尼·塔拉斯科（Tong Tarasco）的范围，他在球的下方准备接球。突然，坐在露天看台前排的12岁的扬基队球迷杰弗雷·梅耶（Jeffrey Maier）从栅栏上探出身，将球拨进了看台。

基特知道这个球不是本垒打，塔拉斯科、班尼特兹还有5.6万名扬基队球迷也知道这个球不是本垒打。在扬基队球馆中唯一没有看到梅耶探身拨球的人，也是唯一能决定这次击球分数的人，就是裁判里奇·加西亚（Rich Garcia）。加西亚判定这个球是本垒打，基特也没有纠正裁判的判定，他慢条斯理地上垒，比赛打成了平局。没有人认为他应该提出异议，这是因为棒球比赛是遵循形式主义的运动，裁判的判定就是最终结果，不可以有任何异议。克莱姆说过，职业裁判员最直言不讳的本体论立场宣言就是：“在我做出判定之前，不管发生了什么都不算数。”

这种情况正在发生变化，但是幅度不大。2008年以来，如果判罚存在争议，球员和裁判可以要求观看录像回放。这种做法有利于裁判做出正确的判罚，但是，很多忠实的棒球迷却认为这有悖于体育精神。我赞同这种观点，我想约翰·罗伯茨也会跟我一样。

并不是所有人都认同萨卡里亚的法律观（他在“戴维斯”一案中的观点是少数人观点）。我们在前面讨论“阿特金斯诉弗吉尼亚州”一案时就已经知道，宪法中“残酷和非常”等文字为我们的解读留下了很大的空间。如果说伟大的欧几里得公理也语焉不详，我们又怎么能指望开国先驱们不犯类似的错误呢？律师、芝加哥大学教授理查德·波斯纳（Richard Posner）等现实主义法学家认为，最高法院在判决时绝不会像萨卡里亚所说的那样顽固地遵循形式主义的规则。

最高法院同意受理的大多数案件都非常难以定夺，根据传统的法律推理是无法做出判决的，因为这种推理非常依赖于宪法与法规的条文以及既往同类案件的判决。如果依靠这种从本质上讲属于语义分析的方法就能做出判决，这些案件在州高等法院或者联邦上诉法院就可以审理完成，不会引起争议，也不会被提交到最高法院了。

根据波斯纳的观点，被提交到最高法院的那些案件是无法通过法律推理解决的。帕斯卡发现无法通过推理证明上帝是否存在，现在，法官们也面临同样的情况。然而，就像帕斯卡说的，我们不能选择放弃，同样，无论传统的法律推理方法是否奏效，法院都必须做出判决。有时，法院会采取帕斯卡的方法：如果无法通过推理判决，就力求取得最佳结果。波斯纳认为，“布什-戈尔选举”案就采取了这种司法程序，萨卡里亚也表示同意。波斯纳指出，他们做出的判决并没有在宪法或者判例中找到真正有效的依据。之所以做出这样的决定，是出于一种实用主义的考虑，即避免选举陷入长时间的混乱状态。