射影几何学有两个公理：
公理1：经过两点有且只有一条直线。
公理2：两条直线有且只有一个交点。
数学家发现一种射影平面可以满足上述两个公理之后，自然会想是不是还有更多的射影平面也满足这两个公理。研究发现，这样的射影平面非常多，而且大小不一。最小的射影平面是以其创建者法诺（Gino Fano）的名字命名的，叫作“法诺平面”（Fano plane）。法诺是19世纪末期最先对有限维射影几何学认真展开研究的数学家之一，法诺平面的大致情形如下图所示。
法诺平面
这个射影平面真的非常小，只包含7个点。其中的“直线”，即图中的线条，也非常短小，每条只包含3个点。一共有7条这样的直线，其中6条看起来像直线，另外一条则与圆相似。尽管这个射影平面形状奇特，但它与布鲁内莱斯基平面一样，满足公理1和公理2。
值得赞赏的是，法诺使用了现代研究经常使用的方法，用哈代的话说就是“下定义的习惯”，从而避免了“射影平面到底是什么”这个无法回答的问题，代之以“哪些现象具有射影平面的特点”。法诺的原话是这样的：
作为研究的基础，我们假设有任意数量、任意属性的实体，我们简称其为“点”，但是这个名称与它们的属性无关。
对于法诺及其信徒而言，直线“看起来像”直线、圆、野鸭还是其他任何东西并不重要，重要的是这些直线遵从欧几里得及其后来者关于直线的定义。只要它的特性与射影平面相似，我们就认为它是射影平面。有人认为，这种行为会把数学与现实割裂开来，应当予以抵制。但是，这种观点过于保守了。研究发现，我们运用几何学方法思考那些看起来不像欧几里得空间的物体，甚至理直气壮地把它们称作“几何体”，这种大胆的做法，在我们理解相对时空几何学时，发挥了非常重要的作用。时至今日，我们在展望互联网前景时还会使用广义的几何学理论。几何学理论的变化更大，如果欧几里得重生，估计他也无法辨认，这就是数学了不起的地方。我们所定义的一系列概念，如果是正确的，即使它们被用到远远超出当初构建情境的更大范围中，也不会有问题。
我们再次以法诺平面为例，只不过把平面中的点用1至7这7个数字一一加以标记。
是不是感觉很熟悉呢？如果我们用其中的3个点代表这些直线，并把全部7条直线列出来，就会得到：(www.xing528.com)
124
135
167
257
347
236
456
它们正好是我们在上文中看到的7个数字构成的彩票号码组合，也就是可以保证至少获得最低奖金的号码组合。这似乎充满了神秘感，以至于我们会不由自主地想：什么样的人才能想出如此完美的彩票号码组合呢？
但是现在，我打开了盒子，让大家看到了其中的奥秘：一个非常简单的几何体。每对数字都会出现在一张彩票上，因为每对点只能出现在一条直线上。它还是欧几里得几何学，虽然我们所说的点与直线已经面目全非，可能连欧几里得本人也辨认不出来。
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