魔鬼数学解决硬币、缝衣针和面条问题

大学生与彩票的故事讲到这里，我们需要暂停一下，因为谈及期望值的相加性时，我必须向大家展示我知道的最能说明问题的证据，它的核心正是期望值的相加性。

我首先要向大家介绍一种叫作“franc-carreau”（“franc-carreau”的大致意思是“正好落在正方形之中”。游戏中使用的硬币不是法郎，因为当时流通的货币不是法郎，而是埃居）的游戏。这个游戏与热那亚彩票一样，都会让我们想起无所不赌的古代。只要有一枚硬币和由方砖铺成的地板就可以玩“franc-carreau”游戏。人们把硬币扔到地上，然后押下赌注，猜硬币是完全落在一块砖上还是骑在砖缝上。

布封（Georges-Louis LeClerc，Comte de Buffon）是勃艮第的一位地方贵族，学术造诣很高。他上的是法学院，可能是想像他的父亲一样当一名地方行政官，但是，在拿到学位之后，他立刻将法学抛到脑后，迷上了科学。1733年，那时他才27岁，但他已经是巴黎皇家科学院的成员了。

布封后来成了一名著名的博物学家，完成了44卷的巨著《自然史》（Natural History）。他在这本书中提出了一个理论，希望能像牛顿解释运动与力的理论那样，以普适、不费力的方式解释生命的起源。年轻的时候，布封与瑞士数学家加布里埃尔·克莱姆（Gabriel Cramer）的一次短暂会面以及之后长期的书信往来，让他对理论数学产生了兴趣，并以数学家的身份进入巴黎皇家科学院。

在提交给巴黎皇家科学院的论文中，布封将几何学与概率论巧妙地结合在一起，而此前人们一直认为这两个数学领域之间没有联系。但是，他研究的对象不是行星沿轨道运行的方式或者大国经济这些大问题，而是低俗的“franc-carrearu”游戏。在论文中，布封提出了一个问题：硬币完全落在一块砖上的概率是多少？砖的面积多大时，这个游戏对双方来说才是公平的？

下面我向大家介绍布封的方法。如果硬币的半径是r，方砖的边长为L，那么，只要硬币的圆心落在一个边长为L-2r的小正方形的外面，硬币就会接触到砖缝。

小正方形的面积是（L-2r）2，大正方形的面积是L2，因此，如果我们赌这枚硬币“完全落在大正方形之中”，那么我们获胜的概率就是（L-2r）2/L2。要使游戏公平，这一概率必须是1/2，即：

（L-2r）2/L2=1/2

布封解出了这个方程式（如果学过这方面的知识，我们也能解开这个方程式），他发现只有当砖的边长是硬币半径的倍，也就是接近7倍时，游戏才是公平的。将概率论与几何图形相结合，是一种新颖的想法，具有研究价值。但是，这样做的难度比较小，布封知道单凭这个发现是不可能进入巴黎皇家科学院的。于是，他继续深入研究：“但是，如果扔到空中的不是埃居这样的圆形物体，而是其他形状的物体，例如方形的西班牙皮斯托儿金币，或者一根缝衣针、一根短木棒等，解决这个问题时需要的几何知识就会多一些。”

当然，这是一个保守的说法。缝衣针问题，是时至今日布封的名字仍然没有被数学界忘记的原因之一。下面，我把布封的话用更准确的语言重新解释一遍：

布封的投针问题：假定地面是用细长木板条铺成的硬木地面，你手上正好有一根缝衣针，而且针的长度正好等于木板条的宽度。把缝衣针扔到地面上，它骑在木板条缝上的概率是多少？

如果我们扔到地面上的是埃居，那么路易斯四世的脸是朝上还是朝下，对我们都没有任何影响。圆从任何角度看都是一样的，因此，硬币骑缝的概率并不取决于它的朝向。

但是，布封使用的缝衣针却不同。如果缝衣针的方向与木板条缝的方向近乎平行关系，那么它骑缝的概率会非常低。

如果缝衣针的方向与木板条缝的方向近乎垂直关系，我们几乎可以肯定缝衣针会骑在木板条缝上。

“Franc-carreau”游戏具有高度的对称性，用术语来讲，这个游戏的结果始终处于轮换状态。但在投针问题中，这种对称性被破坏了，因此游戏的难度大幅度增加。我们不仅需要关注缝衣针中心点的位置，还要关注缝衣针的朝向。

在两种极端的情况下，缝衣针骑在木板条缝上的概率是0（缝衣针的方向与木板条缝的方向为平行关系）或者1（缝衣针的方向与木板条缝的方向为垂直关系）。因此，我们有可能取中间值，认为缝衣针与木板条缝接触的概率正好是1/2。但是，这种想法是不对的。事实上，缝衣针与木板条缝相交的概率，远大于缝衣针完全位于某个木板条之内的概率。布封投针问题的答案是：缝衣针骑在木板条缝上的概率为2/π，约等于64%。这个答案出人意料，我们并没有看到圆，但答案里为什么会出现π呢？布封在计算时，使用了一种复杂的证明方法，需要计算一种由叫作“摆线”（cycloid）的线条所围成的面积。计算该面积时要用到微积分知识，微积分对于现代数学专业二年级的学生而言并不难，但要完全掌握也不是件容易的事。

不过，在布封进入巴黎皇家科学院100多年之后，约瑟夫-埃米尔·巴比埃（Joseph-Émile Barbier）发现了另外一种方法。这种方法无须使用严谨的微积分知识，它虽然也有一点儿复杂，但只需要运用算术与基础几何知识，其中最重要的就是对期望值相加性的应用！

该方法的第一步是将布封投针问题用期望值理论重新加以表述：与缝衣针相交的木板条缝的条数期望值是多少？布封计算的这个数字代表的是缝衣针与木板条缝相交的概率p，因此，缝衣针与所有木板条缝都不相交的概率是1-p。但是，如果缝衣针与木板条缝相交，就只能与一条木板条缝相交。^[2]因此，我们可以用计算期望值的常用方法，即让可能相交的木板条缝数与该数字对应的概率相乘，得数加总就可以得到相交木板条缝数的期望值。在本例中，概率只能为0（观察到该结果的概率为1-p）和1（观察到该结果的概率为p），因此，我们可以把（1-p）×0=0与p×1=p相加，得数为p。也就是说，相交木板条缝数的期望值是p，与布封通过计算得到的数值相同。到这一步，我们似乎还没有取得什么进展。如何计算出这个神秘的数值p呢？

在面对数学难题一筹莫展时，我们通常有两种选择：第一，把问题简单化；第二，把问题复杂化。

把问题简单化似乎是一个更好的选择。用一个相对简单的问题替代我们要解决的难题，然后寄希望于在解决简单问题的过程中获得灵感，为我们解决那道难题提供某种思路。数学家用平稳的原始数学机制为复杂的现实系统建立模型时，用的就是这种方法。有时，这种方法非常有效。在计算较重抛射体的运动轨迹时，如果我们忽略空气阻力，认为该物体在运动过程中只受到万有引力的作用，就可以取得很好的效果。但是，我们的简化措施有时过于简单，以致连问题的重要特征都被抹杀了。很早以前就有这样一个故事：一位物理学家接到一个优化奶品生产的任务，他满怀信心地说“假设有一头球形的奶牛……”(www.xing528.com)

循着让问题简单化的思路，我们有可能从更简单的“frand-carreau”游戏中找到灵感，帮助我们解决布封投针问题：“假设有一根圆形的缝衣针……”但是，硬币不具有缝衣针的那种特征，因此，我们并不清楚从硬币游戏中能找到哪些有用的信息。

我们考虑另一种策略：把问题复杂化。巴比埃在当时也做出了同样的选择，虽然这种策略的前景看似并不乐观，但一旦发挥作用，就会产生难以想象的魔力。

我们试着思考这样一个问题：如果缝衣针的长度等于两块木板条的宽度，那么与它相交的木板条缝数的期望值是多少？这个问题似乎更加复杂，因为可能出现的结果不是两个，而是三个：缝衣针有可能完全位于一块木板条上，有可能与一条木板条缝相交，也有可能与两条木板条缝相交。因此，在计算相交木板条缝数的期望值时，我们需要计算三个（而不是两个）独立事件的发生概率。

但是，由于期望值具有相加性，因此这个更复杂的问题其实比我们想象的容易。我们在缝衣针的中心位置画一个点，把长缝衣针分成两段，并分别标记为“短缝衣针1”和“短缝衣针2”，如下图所示。

此时，与长缝衣针相交的木板缝条数的期望值就是短缝衣针1的期望值与短缝衣针2的期望值的和。用代数语言来表示，如果X是与短缝衣针1相交的木板条缝数，Y是与短缝衣针2相交的木板条缝数，那么与长缝衣针相交的木板条缝数就是X+Y。每根短缝衣针的长度等于布封缝衣针的长度，因此，与每根短缝衣针相交的木板条缝数的期望值为p，也就是说，E（X）与E（Y）都等于p。与整根缝衣针相交的木板条缝数的期望值E（X+Y）等于E（X）+E（Y），即p+p，得数为2p。

当缝衣针的长度是木板条宽度的3倍、4倍甚至100倍时，上述推理方法同样适用。如果缝衣针的长度为N（我们取木板条的宽度作为度量单位），那么与它相交的木板条缝数的期望值就是Np。

无论缝衣针多长或者多短，这个结论同样适用。假定我扔出去的缝衣针的长度为1/2，即其长度等于木板条宽度的一半。由于长度为1的布封缝衣针可以分成两根长度为1/2的缝衣针，布封缝衣针的期望值为p，所以长度为1/2的缝衣针的期望值是1/2p。事实上，对于任意正实数N，无论大小，公式“与长度为N的缝衣针相交的木板条缝数的期望值是Np”都成立。

到这一步，我们还有一个非常难的证明没有完成。当N的值取像2的平方根这样令人讨厌的无理数时，我们需要采用某些技术手段，证明上述结论仍然适用。请大家放心，巴比埃证明方法的精髓就是我在这里向大家介绍的这些。

接下来我们要采用一个新的视角，即“折弯缝衣针”。

上图中的缝衣针是我们到目前为止遇到的最长的针，长度为5。这根针被折弯了两次，首尾相连后构成了一个三角形。三角形的三条边长分别为1、2、2，可能相交的木板条缝数的期望值分别为p、2p、2p。根据期望值的相加性，整根针可能相交的木板条缝数的期望值是三条边的总和，即：

p+2p+2p=5p

换言之，对于折弯的缝衣针而言，“与长度为N的缝衣针相交的木板条缝数的期望值是Np”这一结论也成立。

接下来，我们再讨论一下下图所示各种形状的缝衣针的情况。

我们在前面见过这些图形。2000年前，阿基米德与欧多克斯在提出穷竭法时，就使用了这些图形。最后一幅图看上去像一个直径为1的圆，但实际上它是由65536根短缝衣针构成的多边形。我们的肉眼无法看出两者之间的不同，当然，地板也不会知道它们不是同一形状。因此可以说，与直径为1的圆相交的木板条缝数的期望值，约等于与65536边形相交的木板条缝数的期望值。根据“折针”规则，这两个期望值都是Np，其中N是多边形的周长。那么，这个多边形的周长是多少呢？应该非常接近于圆的周长。圆的半径为1/2，它的周长是π，所以与圆相交的木板条缝数的期望值是πp。

这种把问题复杂化的方法，大家认为怎么样？问题变得越来越复杂，越来越具有一般性，但是否有人认为我们还没有解决最基本的问题：p到底是多少？

大家可能都没有想到，我们刚才已经算出p的值了。

与圆相交的木板条缝数到底是多少？我们把缝衣针折成圆形之后，在由硬币变成缝衣针时丧失的对称性又被我们找回来了。如此一来，这个难题就变得简单多了。无论圆落在什么位置都没有关系，因为与它相交的木板条缝数一定是2。

因此，相交木板条缝数的期望值就是2。我们知道该期望值还等于πp，于是，我们算出p=2/π，这跟布封的计算结果不谋而合。实际上，上述证明过程适用于所有缝衣针，无论它是多边形还是弯曲的，相交木板条缝数的期望值都是Lp，其中L是以木板条宽度为计量单位时缝衣针的长度。即使把一人份意大利面扔到地板上，想知道其中一根面条会骑在几条地板缝上，我也能准确地告诉你它的期望值是多少。这就是布封投针问题的一般形式，数学家们开玩笑说这是“布封的面条问题”。