强力球彩票：奖金分级、价值期望约0.94美元

目前，强力球风靡美国，全美有42个州、哥伦比亚特区及美属维尔京群岛都可以玩这种彩票游戏。这种游戏十分受欢迎，有时单次开奖就可以卖出多达1亿张彩票。美国人民，无论有钱没钱，都会玩这个游戏。我父亲以前是美国统计协会的主席，也玩强力球，而且经常会帮我买一张，所以我也算玩家之一。

那么，玩这种彩票游戏是否明智呢？

2013年12月6日，就在我写到这一章的时候，累积奖金已经高达1亿美元了，而且赢取累积奖金不是赢钱的唯一途径。与很多彩票一样，强力球也设置了多个等级的奖金，正是那些容易中的小额奖金让人们觉得这种游戏值得一玩。

下面我向大家介绍如何计算一张售价为2美元的彩票的期望值，如果你购买了一张彩票，你就有：

1/175000000的概率赢取1亿美元的累积奖金；

1/5000000的概率赢取100万美元奖金；

1/650000的概率赢取1万美元奖金；

1/19000的概率赢取100美元奖金；

1/12000的概率赢取另外一个100美元奖金；

1/700的概率赢取7美元奖金；

1/360的概率赢取另外一个7美元奖金；

1/110的概率赢取4美元奖金；

1/55的概率赢取另外一个4美元奖金。

你可以从强力球网站上找到这些内容。该网站的“常见问题”页面还有很多令人吃惊的内容，例如，“问：强力球彩票有有效期吗？答：当然有。天地万物都会走向没落，任何事物都无法逃脱这个铁律。”

因此，强力球彩票价值的期望值为：

1亿/1.75亿+100万/500万+10000/65万+100/19000

+100/12000+7/700+7/360+4/110+4/55

得数略小于0.94美元。换言之，根据期望值理论，这张彩票根本不值2美元。

分析到这里并没有结束，因为彩票的情况还会有所变化。当累积奖金为1亿美元时，彩票的期望值较低。但是，只要累积奖金不被人领走，就会有更多的钱进入奖池。累积奖金越多，买彩票的人越多，就越有可能出现某个家伙中大奖、一夜暴富的情况。2012年8月，密歇根铁路工人唐纳德·劳森（Donald Lawson）中了3.37亿美元的大奖。

大奖如此丰厚，彩票价值的期望值也会随之增加。计算方法不变，我们把3.37亿美元的累积奖金代入上面的算式：

3.37亿/1.75亿+100万/500万+10000/65万+100/19000

+100/12000+7/700+7/360+4/110+4/55

得数约为2.29美元，买彩票似乎变成了一种不错的选择。累积奖金必须达到多少，彩票价值的期望值才会超出2美元的成本价呢？终于可以去找八年级的数学老师，告诉他你明白学习代数的意义了。如果我们把累积奖金的值记作J，那么彩票价值的期望值是：

J/1.75亿+100万/500万+10000/65万+100/19000

+100/12000+7/700+7/360+4/110+4/55

将这个算式化简，就会得到：(www.xing528.com)

J/1.75亿美元+36.7美分

现在，我们要用到代数知识了。要使期望值超过我们投入的2美元，我们需要使J/1.75亿美元的值大于1.63美元（即J/1.75亿美元＞2美元-36.7美分）。两边同时乘以1.75亿美元，我们发现累积奖金J的临界值略大于2.85亿美元。这个金额并不是多么难得一见，2012年的累积奖金就有三次达到了这个规模。这样看来，买彩票似乎是不错的买卖，只要我们等到累积奖金足够高时再出手就可以了。

分析到这里仍然没有结束。在美国，并不是只有你学过代数。而且，即使没学过代数的人，凭直觉也能知道，在累积奖金为3亿美元时，彩票比累积奖金为8000万美元时更加诱人。数学方法通常是人们天生就会的心算活动的形式化产物，是借助其他手段对常识的扩展。当大奖为8000万美元时，彩票可能的销量是1.3亿张，而在唐纳德·劳森赢取3.37亿美元的时候，面对的竞争对手多达7.5亿人。

参与的人越多，中奖的人就越多。但是，大奖只有一个。如果有两个人同时中了大奖号码，他们就要平分这笔奖金。

那么，一个人独得累积奖金的可能性有多大呢？这个概率为1/175000000，而且要满足两个条件：第一，必须猜中全部6个号码；第二，其他人都没猜中。

而单个玩家中不了累积奖金的概率却非常高，为174999999/175000000。但是，如果有7.5亿名玩家参与彩票游戏，其中某个人中大奖的概率就会非常大。

这个中奖概率到底有多大呢？我们可以用一个大家几乎都知道的原理来说明：如果我们知道甲事发生的概率和乙事发生的概率，且两件事各自独立（一件事的发生不会对另一件事产生影响），那么它们同时发生的概率为各自发生概率的乘积。

太抽象了吗？我们以彩票为例。

我中不了大奖的概率是174999999/175000000，我父亲中不了大奖的概率也是174999999/175000000，因此，我们两个人都中不了大奖的概率就是：

174999999/175000000×174999999/175000000

即99.9999994%。换言之，我们最好不要买彩票，父亲每次买彩票，我都会这样劝他。

那么，7.5亿人中不了大奖的概率是多少呢？我只需要把7.5亿个174999999/175000000相乘就可以了。这道计算题似乎太复杂了，可能在放学后要花很长时间才能完成。但是，如果我们用指数来表述，就会简单得多，而且借助计算器很快就能完成计算。

（174999999/175000000）750000000=0.651……

也就是说，其他玩家中不了大奖的概率约为65%，其中至少有一个人中奖的概率为35%。如果真的有另外一个人也中奖了，劳森的奖金就会从3.37亿美元减少到1.68亿美元。此时，累积奖金的期望值将会降至：

65%×337000000美元+35%×168000000美元=278000000美元

这个期望值略低于保证累积奖金物有所值的临界值，即2.85亿美元。而且，上述分析还没有考虑有两个以上的人中大奖并均分累积奖金的概率。即使累积奖金超过3亿美元，也可能因多人平分大奖而使彩票价值的期望值低于我们的投入。如果累积奖金的数额进一步加大，彩票价值的期望值可能会进入“物有所值”区，但是，如果高额累积奖金促使彩票销售额大增，那么彩票价值的期望值仍有可能低于其实际售价。强力球到目前为止产生的最高累积奖金是5.88亿美元，由两位玩家分享；美国彩票史上的最大奖产生于美国“百万大博彩”，大奖金额高达6.88亿美元，由三位玩家平分。

此外，我们还没有考虑中大奖之后应缴纳的税费，奖金是逐年到账的，如果我们希望提前领取所有奖金，总额就会大幅度缩水。别忘了，彩票是州政府发行的，政府对我们的情况了如指掌。在很多州，我们还没有拿到奖金时，就需要先缴纳退缴税或者履行其他财政义务。在州彩票中心工作的一位朋友跟我讲过一个中奖人的故事。一个周末，这位玩家跟他的女朋友一起来到彩票中心，领取1万美元的奖金。结果表明，那是一个令他抓狂的周末。在收到他的中奖彩票之后，值班的彩票中心工作人员告诉他，由于他逾期未付子女抚养费，这笔奖金的绝大部分已经被支付给了他的前女友，只剩下几百美元了。

之前，这位男士的现女友完全不知道他有孩子，周末度假计划因此落空了。

如果你希望在强力球上有所斩获，最佳策略是什么呢？下面是经过数学验证的三个策略：

1.别玩强力球。

2.如果一定要玩强力球，也要等到累积奖金非常高的时候再买。

3.如果累积奖金非常高而且你准备购买强力球，那么尽可能降低与其他人分享大奖的概率：选择其他玩家不会选择的号码；不要选择你的生日数字；不要选择以前中过奖的号码组合；不要选择可以在彩票上构成美丽图案的那些号码；一定要记住，不要选择我们在签语饼中发现的号码。（大家知道，每块签语饼中的号码都是相同的，对吧？）

强力球不是唯一的彩票游戏，但是所有彩票游戏都有一个共同点：胜算不大。亚当·斯密通过观察发现，彩票业的目的是将部分销售所得交给州财政，要实现这个目的，州政府必须保证彩票的销售所得大于奖金总额。彩票玩家付出的钱必然多于中奖所得，彩票的期望值也低于其票面价格。

然而，也有例外情况。