终身年金保险定价的数学思维

17世纪中叶至17世纪末，期望值成了数学领域的一个焦点，而且这方面的研究非常成熟，连英国皇家天文学家埃德蒙·哈雷（Edmond Halley）等注重实践的科学家都在应用它。没错，埃德蒙·哈雷就是发现“哈雷彗星”的那个人，他还是第一个研究如何恰当地为保险定价的科学家。在威廉三世统治时期，这项研究具有非常重要的军事意义。当时，英国与欧洲大陆的战争进行得如火如荼，而战争需要资金的支持。1692年，英国议会提议通过“百万英镑法案”（Million ACT），通过向全国人民销售终身年金保险的方法筹集100万英镑，以满足战争所需。购买终身年金保险意味着放弃年付，改为向政府一次性缴清所有保费。这种做法与人寿保险正好相反，购买终身年金保险的人都在赌短期内自己不会死亡。当时，保险统计学还处于雏形阶段，这项举措在确定年金成本时没有考虑领取年金者的年龄。因此，对于一位老奶奶而言，她可能最多需要缴纳10年的保费，可是她购买终身年金保险花费的钱却与儿童相同。

作为一名科学家，哈雷清楚地知道不考虑年龄因素的定价方案是非常愚蠢的。因此，他决定找出一个能够更合理地估算终身年金保险价值的方法。但是，问题在于人们的生老病死与彗星的运行一样没有严格的规律可循。不过，哈雷借助出生人口与死亡人口的统计数据，为领取年金者估算出不同的存活时间所对应的概率，从而得到年金的期望值：“很明显，由于购买者有死亡的可能，因此他支付的金额应该小于年金价值；而且年金价值应该逐年计算，各年度的年金价值的总和等于终身年金的价值。”(www.xing528.com)

换言之，老奶奶的预期存活时间较短，因此在购买终身年金保险时需支付的钱应该少于年龄比她小的人所支付的金额。