上学期间，很多孩子会在两个时间点放弃数学学习。第一个时间点是在小学阶段开始学习分数时。在此之前，孩子们接触的都是自然数，也就是0、1、2、3等数字，这些数字可以回答“有几个”这种形式的问题。[3]自然数的概念非常简单，据说很多动物都能理解，但是，分数表示“几分之几”，是一个极为宽泛的概念。因此，从自然数到分数是一个哲学上的飞跃。19世纪的代数学家利奥波德·克罗内克（Leopold Kronecker）有一句名言：“自然数是上帝的杰作，而其余的数字则是人类创造的。”
第二个时间点是学习代数时。代数为什么那么难呢？这是因为在代数问世之前，我们对数字的计算都是简单的算术运算。我们把一些数字代入加法或者乘法（在一些传统的学校里，还有长除法）算式中，随后我们就可以得到结果了。
但是代数不同，它是一种自后向前的计算过程，例如：
我们已知加法运算的得数（15），因此我们要完成的是一个逆向运算，即找出与8相加等于15的那个数字。
七年级的数学老师肯定告诉过我们，在这种情况下，我们可以做一些调整以便于计算，于是上式变成：
此时，我们通过15减去8的减法运算算出x等于7。
但是，并不是所有的代数问题都如此简单。我们还有可能需要解二次方程式，例如：
不会吧？（我听到你发出的惊呼声了。）我们有没有可能遇到这样的问题呢？如果老师不要求，我们才不会解这样的难题呢，不是吗？
我们回过头去思考第2章讨论的导弹问题，那颗导弹正在向我们快速飞来。
也许，我们知道导弹是从高于地面100米的位置发射的，上升的速度为200米/秒。如果没有万有引力的作用，根据牛顿定律，导弹将一直沿直线轨迹向上运动，每秒爬升200米，x秒之后的高度可用下列线性函数表示：
但是，导弹肯定会受到万有引力的影响，因此，它会沿弧形轨迹落在地球上。研究发现，在上述函数中添加一个二次项，就能描述万有引力的作用：
其中，该二次项前有一个负号，这是因为万有引力对导弹的作用力是向下而不是向上的。
有导弹朝我们飞来时，我们可能需要回答很多问题，其中尤为重要的一个问题是：导弹何时着陆？或者说，什么时候导弹的高度为零？也就是说，x的值为多少时，下列方程式成立？
如何才能解出x的值呢？我想大家可能没有一点儿头绪。但是我们无须担心，因为我们可以借助试错法这个强大的武器。如果我们把x=10代入方程式，就会发现10秒钟之后导弹的高度为1600米。把x=20代入，得数为2100米，这个结果似乎告诉我们导弹仍然在上升。当x=30时，得数又是1600米。这时候我们看到了希望，导弹肯定已经过了最高点。当x=40时，导弹距离地面的高度为100米，已经非常接近地面了。如果把x的值再增加10秒，肯定就会超过弹着时间。当x=41时，得数为-105米，这个数字并不是说我们预测导弹钻到了地面以下，而是说导弹已经落地。此时，我们这个简洁有效的导弹运动模型已经失去效用了。
如果41秒太长，那么40.5秒呢？当x=40.5时，得数为-1.25米，比0略小一点儿。把时间稍稍回拨至40.4秒，得到19.2米，说明此时导弹还在下降。40.49秒呢？非常接近了，仅比地面高出0.8米……
我们可以看出，只要小心地调整时间，就可以通过试错法，尽可能准确地估算弹着时间。
但是，这是不是意味着我们已经求出了方程的解呢？也许吧。因为无论怎么微调时间，哪怕我们把弹着时间精确至发射后40.4939015319……秒，我们也无法知道正确答案到底是多少，我们求出的只是一个近似值。不过，在现实中，把弹着时间精确到百万分之一秒是没有必要的，不是吗？也许，“大约40秒”就足够了。如果试图寻找更准确的答案，那纯属浪费时间，而且，所得出的答案甚至有可能是错误的。这是因为我们的导弹运动模型非常简单，没有考虑空气阻力、天气条件造成的空气阻力变化、导弹的弹体自旋等其他因素。这些因素的影响可能很小，但是，在我们希望把导弹到达预定地点的时间精确到微秒时，它们却足以导致我们无法实现这个目标。(www.xing528.com)
不过，即使要为这个方程式找出足够准确的根，也无须担心，因为我们可以借助一元二次方程式这个工具。这个方程式我们曾经学过，但是现在未必能想起来，除非我们记忆力超群，或者现在正好12岁。所以，我在这里列出这个方程式。
如果x是方程式c+bx+ax2=0的一个根，其中，a、b和c为任意数字，那么
在描述导弹高度的方程式中，c=100，b=200，a=-5，由此可以求出x的值：
在这个算式中，大多数符号都很常见，但是有一个例外，那就是“±”。这个符号看上去好像正号与负号的关系非常亲密。尽管我们写的这个公式充满自信地以“x=”作为开头，但到最后却变得举棋不定、犹豫不决。符号“±”就像涂鸦拼字游戏中的空白牌一样，既可以看作“+”，又可以看作“-”，非常灵活。每个选择所对应的x值都会使方程式100+200x-5x2=0成立。因此，该方程式的根不是一个，而是两个。
哪怕我们早已忘记一元二次方程式，我们也会知道满足该方程的x值有两个。我们将方程y=100+200x-5x2绘制成图，就会得到下图所示的开口向下的抛物线。
图中水平直线为x轴，表示该平面上y坐标为0的所有点。当曲线y=100+200x-5x2与x轴相交时，就表示y=0，即100+200x-5x2=0。这正好是我们要求解的方程式，只不过它现在变成曲线与水平直线相交的几何问题了。
如果开口向下的抛物线向x轴延伸，那么它与x轴的交点正好是两个。换言之，使100+200x-5x2=0成立的x值有两个。
那么，这两个值到底是多少呢？
如果把“±”定为“+”，就会得到
，即40.4939015319……，与我们用试错法得出的结果相同。
但是，如果我们选择“-”，就会得到
，即-0.4939015319……。对于我们最初考虑的那个问题而言，这样的答案是没有意义的。对于问题“导弹将在何时击中我”来说，答案不可能是“半秒钟以前”。
不过，x的这个负数值肯定是该方程的一个根。数学上的任何结果，都不会是无的放矢。那么，这个负数表示什么含义呢？我们可以用下面这个方法来理解。我们说过，导弹的发射位置比地面高出100米，飞行速度为200米/秒。但是，我们在计算中应用的条件是：在时间为零时，导弹在该位置以该速度飞升。如果该位置不是发射时导弹所在的位置呢？也许导弹发射的时间不为零，位置也不是在地面上方100米的高度，而是发射得稍早一些，从地面直接发射的。那么它是什么时间发射的呢？
通过计算，我们知道导弹位于地面的时间点正好有两个。一个时间点是在0.4939……秒以前，这就是发射时间；另一个时间点是在40.4939……秒之后，这是弹着时间。
求出上述方程式的两个根似乎并不难，如果我们经常使用一元二次方程式，就更容易了。但是，如果我们年仅12岁，这个方程式将会成为我们哲学观的一个转折点。在这之前的6年时间里，我们一直在寻找问题的唯一答案，但是从这一刻起，我们突然发现并不存在“唯一答案”这样的东西，这让我们感到无所适从。
这还仅仅是一元二次方程式引起的问题。如果我们需要求解的是x3+2x2-11x=12这样一个一元三次方程式，也就是说x升级为三次幂了。幸运的是，我们可以解开一元三次方程式，通过计算就能知道x的值是多少。文艺复兴后期，一些代数学家在意大利四处游历，以金钱与地位为赌资，与人在公开场合打赌求解方程式。在这个过程中，一元三次方程式诞生了。但是，知道一元三次方程式的人为数不多，他们秘而不宣，记录时也会采用隐晦的韵文形式。
这件事说来话长，而我在这里要告诉大家的是，逆向运算的难度非常大。
圣经密码研究者们一直琢磨的推理问题也是一种逆向运算，因此不是轻而易举就能解决的。在我们钻研科学、研究《托拉》或者蹒跚学步时，我们需要通过摆在我们面前的各种观察结果，形成一个个理论。我们要解决的是眼前这个世界的难题，那么答案是什么呢？推理是一项难度很大的工作，甚至是难度最大的工作。我们根据眼前的蛛丝马迹，努力地求解一个又一个x，希望最终能拨开迷雾，找到答案。
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