数学课上的关键知识点:魔鬼数学，大数据时代的数学思维

微积分的方法与线性回归十分相似，两者都是纯机械性方法，用计算器就可以完成。但是，如果漫不经心，就会犯严重的错误。在微积分考试中，题目可能要求在水壶上凿一定尺寸的洞，让水以一定流速从壶中流出，并流淌若干时间，然后要求你计算壶中所剩水的重量。在时间比较紧张的情况下，学生做这类题目时很容易犯计算错误。有时，因为计算错误，学生可能会得出荒谬的结果，例如壶中水的重量是-4克。

如果学生的答案是-4克，并且潦草地在试卷上写下一行十分沮丧的话：“我算错了，但是我找不到哪里出错了”，那么，我会给他们一半的分数。

如果他们只写下“-4克”作为答案，他们就会得零分，哪怕整个推导过程都正确，只是在中间某个地方把一个数字搞错了。

计算积分或者进行线性回归，用计算机就能完成，但是，判断所得结果是否有意义，或者判断所采用的方法是否正确，则离不开人的智慧。我们在教授数学时，应该告诉学生如何应用人的智慧，否则，我们培养出来的学生从本质上就会与微软的Excel程序没什么两样，而且反应迟钝、漏洞百出。

但是，坦率地讲，有很多数学课程真的就是这样。下面我向大家介绍一个复杂漫长又充满争议的情况（尽管我长话短说，但是所说的内容仍然富有争议性）。几十年来，针对儿童的数学教育一直是所谓的“数学战争”的战场。一方面，有些老师强调熟记规则、解题过程流畅、遵从传统的运算法则，力求答案精准无误；另一方面，有些老师则认为在教学过程中应让学生掌握所学内容的含义，学会正确的思考方法，引导学生去发现，而不要求得出标准答案。第一种方法被称作传统教学，而第二种则被称作教学改革，尽管这种被视为打破传统、鼓励发现的方法已经以某种形式存在了几十年，但人们对所谓的“改革”是否真的可以称作改革依旧争论不休。在数学的盛会上讨论政治或者宗教，本身也无可厚非，但是以讨论数学教学法开始、以某人因为反对传统教学法或教学改革而怒气冲冲地拂袖而去收场，就很不应该了。

我自认为不属于任何一个阵营。有些改革派希望不要要求学生背诵乘法表，这样的做法我不敢苟同。在认真思考数学问题时，我们有时必须完成6×8这样的运算，如果我们每次都要使用计算器，思路就会被打断，无法认真思考。在写十四行诗时，如果每个单词都要查字典，那么这首诗将永远无法完成。

有的改革派步子迈得太大，他们甚至认为，如果经典运算法则（例如，“在求两个多位数的和时，如果需要，可以列竖式计算”）影响学生独立地了解数学对象的属性，就应该从课堂教学中移除。^[4]

这种观点让我觉得很可怕：这些运算法则是人们辛勤钻研的成果，是十分有用的工具，我们没有理由非得一切从零开始。(www.xing528.com)

与此同时，我认为我们的确有充分的理由将某些运算法则从现代教学中移除。比如，我们无须教学生用笔算或心算的方式开平方（尽管从我个人的长期经验来看，用心算的方式开平方，可以在派对中吸引一大群没有社交经验的人）。计算器是人们辛勤钻研的成果，必要时我们可尽情使用。即使我的学生不会用长除法计算430除以12的商，我也觉得无伤大雅，但是我要求他们必须对数学有足够的感觉，能够估算出这道题的得数略大于35。

人们之所以过分强调运算法则与精确计算，原因在于运算法则与精确计算易于评判。如果我们把数学的目标仅定为“得出正确答案”，并以此作为测试依据，那么我们培养的学生很有可能考试成绩优秀，却对数学一窍不通。这样的结果对那些单纯以考试分数为唯一学习目标的人来说，是令人满意的，在我看来却不妥当。

当然，如果我们培养的大批学生对数学的含义浅尝辄止，无法快捷正确地解题，结果同样不能令人满意（事实上，这样的结果甚至更糟糕）。数学老师最不希望听到学生说“我明白这个概念，但是不会做题”。其实，这句话的意思就是“我没弄明白这个概念”，只不过这名学生并不自知。数学概念有时非常抽象，只有应用到具体计算当中才有意义。威廉·卡洛斯·威廉姆斯（William Carlos Williams）^[5]说过一句简明扼要的话：凡理皆寓于物。

这场较量在平面几何领域进行得最为激烈。平面几何是教授证明方法的最后阵地，而证明是最基础的数学行为。在众多专业的数学人眼中，平面几何是捍卫“真正的数学”的最后防线。但是，我们在教几何学时，对证明过程的唯美、作用及意外发现应以怎样的度为宜呢？这个问题还没有明确的答案。几何教学很容易变成重复性练习，就像一次性完成30道定积分练习题那么枯燥乏味。这样的情形非常可怕，因此菲尔兹奖获得者戴维·芒福德（David Mumford）建议彻底放弃平面几何教学，代之以编程基础课程。毕竟，计算机程序与几何证明有很多共通之处：两者都要求学生从多个可选项中找出若干非常简单的内容，依次将它们组合到一起，形成序列，用于完成某个有意义的任务。

我没有芒福德那么偏激，事实上，我的观点比较温和。虽然有可能两边不讨好，但我认为数学教学既要重视答案的精确，也要鼓励明智的含糊，既要培养学生熟练运用已有运算法则的能力，又要引导他们在较短时间内掌握解题所需的常识。总之，数学教学应做到张弛有度，否则，我们所从事的活动就根本谈不上是数学教学。

这样的要求虽然比较高，但是，优秀的数学教师就应该埋头教学。至于数学战争的问题，还是交由管理部门去考虑吧。