冰激凌商店-永远无法到达

对牛顿的批评是有道理的。从现代数学的严密性来看，他提出的微积分公式谈不上完美。问题就出在无限小这个概念上，这是几千年来数学家们面对的一个令人多少有些尴尬的问题。公元前5世纪，希腊爱利亚学派有一位名叫芝诺（Zeno）的哲学家，尤为擅长就物理世界提出一些看似无知的问题，但是这些问题总会酿成哲学上的大混乱。这一次，又是他率先发难。

芝诺提出的一个悖论非常有名，大意就像我下面举的这个例子。我决定步行去商店买冰激凌，当然，在我走完一半的路程之前，我不可能到达商店。在我走完一半路程之后，如果我不接着走完剩下路程的一半，我还是无法到达商店。每次我都要先走完剩下路程的一半，才有可能到达商店，如此循环下去。我可能与冰激凌商店越来越接近，但是，无论我走完多少个半程，我永远也无法到达冰激凌商店。我与我的巧克力冰激凌之间总会有一段极小但不等于零的距离，因此，芝诺断言步行去商店买冰激凌是无法实现的。芝诺的这个悖论适用于所有的目的地：步行穿过大街，迈出一步，等等。也就是说，所有的运动都是不可能实现的。

据说犬儒学派的第欧根尼（Diogenes the Cynic）驳斥了芝诺悖论，他站起来走到了房间的对面。这个举动完美地证明芝诺眼中那些不可能完成的运动事实上是能够完成的，那么，芝诺的证明肯定出了问题。但是，问题出在哪儿呢？

我们可以利用数字把商店之行分成若干部分。我们得先走一半路程，然后走剩下路程的一半，也就是全程的1/4，此时，还剩下全程的1/4。再之后剩下的是1/8，1/16，1/32……。所以，走向商店的过程就是：

把这个数列的前10项相加，得数约等于0.999。加总前20项，得数就与0.999999更为接近。换言之，我们与商店的距离非常非常近。但是，无论我们加多少项，都无法得到1。

芝诺悖论与另一个难题非常相似：循环小数0.99999……是否等于1？

我见过有人因为这个问题都快要挥拳相向了，在《魔兽世界》粉丝主页、艾茵·兰德论坛等网站，人们也就这个问题争论不休。关于芝诺悖论，我们的自然反应是“我们当然能买到冰激凌”。但是，在我们讨论的这个问题上，直觉却给出了不同的答案。如果我们一定要问出答案，大多数人会说“0.9999……不等于1”。毫无疑问，这个循环小数看上去不等于1，要小一点儿，但两者的差不是很大。就像例子中那位买不到冰激凌的家伙一样，这个循环小数与1越来越接近，但可能永远也无法等于1。

不过，无论哪里的数学老师，包括我本人，都会告诉他们：“你错了，这个循环小数就是等于1。”

那么，我怎么才能说服他们呢？下面这个方法效果不错。大家都知道

两边同时乘以3

我们会发现

如果这样还不能说服你，那么我们把0.99999……乘以10，也就是把小数点向右移一位

再把讨厌的小数从两边减去

等式的左边就是9×0.99999……，因为一个数的10倍减去该数就是这个数的9倍。而等式的右边，我们成功地消除了讨厌的循环小数，只剩下9。因此，我们得到

如果一个数的9倍是9，那么这个数只能是1，不是吗？

通常，这个证明过程可以说服别人。但是，坦率地讲，这个证明并不完美。它不能让人们彻底消除疑虑去相信0.99999……等于1，而是迫使人们接受一个代数关系：“你们知道1/3就是0.3333……吧？难道不是吗？”

更糟糕的是，你们之所以接受我的证明过程，可能是因为我先进行了乘以10这个运算。但是，这个运算没有问题吗？我们看看下面这个算式的结果是多少。

在这个算式中，符号“……”表示“求和永远不会终止，且每次的加数是前一个加数的2倍”。毫无疑问，该算式的和是一个无穷大的数。上面那个包含0.99999……的证明过程看似正确，但有一个与之十分相似的证明过程却会得出不同的结果。对上面这个求和算式乘以2，我们得到

这个结果与原来的求和算式十分相似，实际上，它是原来的求和算式1+2+4+8+16+……减去了第一个加数1，也就是说，2×1+2+4+8+16+……比1+2+4+8+16+……少1。换言之

但是，这个算式的左边化简后就会得到原来的求和算式，于是我们得到

你相信这个结果是正确的吗？加数越来越大的无限循环加法运算的结果竟然是负数，你能相信吗？

还有更让人无法接受的呢，下面这个算式的得数是多少？

我们很有可能认为这个得数是

我们还有可能认为，即使有无数个0相加，结果也会等于0。但是，由于负负得正，因此1-1+1等于1-（1-1）。不断地进行这个转换，上面的算式就可以写成

这样计算的结果就等于1，道理跟上面的计算一样。那么，结果到底是0还是1呢？还是一半情况下等于0，另一半情况下等于1呢？结果到底等于多少取决于最后一个加数，但是无穷求和算式没有最后一个加数。

现在的情况比以前更糟糕了，别急着做出判断。假设T是这个神秘的求和算式的得数：

把等式两边都变成各自的相反数，于是我们得到

但是，如果将设为T的部分中的第一个加数1去掉，也就是说T-1，就正好是上述算式的右边部分，即(www.xing528.com)

于是-T=T-1，如果等式成立，T就等于1/2。无穷多个整数相加，得数竟然神奇地变成了分数，这可能吗？如果觉得不可能，那么我们自然有理由怀疑这样一个看似毫无破绽的证明过程出了问题。但是，请注意，真的有人觉得这个结果是有可能的，比如意大利的数学家、神父圭多·格兰迪（Guido Grandi），格兰迪级数1-1+1-1+1-1+……就是以他的名字命名的。1703年，格兰迪在一篇论文中证明该级数的和是1/2，而且指出这个神奇的结果表明宇宙是从虚无中产生的。（不用担心，我和大家一样，不会相信他的结论。）当时的杰出数学家，包括莱布尼茨与欧拉，虽然没有接受格兰迪的结论，却认可了他奇怪的计算方法。

实际上，要解出0.999……这个谜（以及芝诺悖论、格兰迪级数），还需要进行更深入的研究。大家也无须屈从于我的代数知识，违心地接受我的观点。比如说，大家可以坚持认为0.999……不等于1，而是等于1减去一个无限小的数。在这个问题上，大家还可以更进一步，坚持认为0.333……不等于1/3，而是比1/3小，两者的差也是一个无限小的量。完善这样的观点需要一些毅力，但并不是一件不可能的事。我在教授微积分时，有一个名叫布莱恩的学生，因为不满课堂上教的各种定义，自己提出了一大堆理论，并且把他提出的无限小量命名为“布莱恩数”。

事实上，这样的情况并不是第一次发生。数学中有一个叫作“非标准分析”（nonstandard analysis）的领域，就在专门深入研究这类数字。20世纪中叶，亚伯拉罕·罗宾逊（Abraham Robinson）开拓的这个研究领域，终于为贝克莱觉得荒谬的“迅速消逝的增量”下了明确的定义。我们必须付出的代价（从另一个视角看，未尝不是一种收获）是接受各种各样的新数字，不仅包括无穷小的数字，还包括无穷大的数字，它们奇形怪状、大小不一。^[6]

布莱恩的运气不错。我在普林斯顿大学的同事爱德华·尼尔森（Edward Nelson）是非标准分析方面的专家。为了让布莱恩进一步了解非标准分析，我安排他们俩见了一面。后来，爱德华告诉我，那次见面并不顺利。在爱德华告诉布莱恩那些无限小量不可以叫作“布莱恩数”之后，布莱恩立刻丧失了兴趣。

（这给我们上了一堂思想品德课：如果人们学习数学只是为了名声与荣誉，那么他们在数学研究的道路上是走不远的。）

到目前为止，我们上文讨论的那个争议性问题还没取得任何进展呢。0.999……到底是多少？等于1，还是比1小？两者的差是一个无穷小的数，而这个无穷小的数在100年前还不为人所知？

正确的做法是谢绝回答这个问题。0.999……到底是多少？这个数字似乎就是下列数字的和：

但是，这个和到底是什么呢？后面的那个令人讨厌的省略号是个大麻烦。两个数、三个数甚至100个数相加，结果都不可能引起任何争议，这是用数学的方式表示一个我们非常了解的物理过程：取100堆材料，捣碎后混合到一起，看最后得到多少。但是，如果这些材料有无穷多堆，情况就迥然不同了。在现实世界，我们不可能会有无穷多堆材料。无穷级数的和是多少呢？根本没有，除非我们为它赋予一个值。19世纪20年代，奥古斯汀-路易·柯西（Augustin-Louis Cauchy）完成了一个伟大的创新，将极限的定义引入了微积分。^[7]

1949年，英国数论学家哈代（Hardy）在他的专著《发散级数》（Divergent Series）中，把这个问题解释得非常清楚：

现代数学家从未想到，一堆数学符号竟然需要通过定义为其赋值，才会具有某种“含义”，因此，即使对于18世纪最杰出的数学家而言，这个发现也不能等闲视之。他们非常不习惯这样的定义，每次都要指出“在这里，X的意思是指Y”，这让他们觉得十分别扭。柯西之前的数学家几乎不会提出“我们应该怎么定义1-1+1-1+……”这样的问题，而会问“1-1+1-1+……是多少”。这样的思维习惯让他们陷入了毫无意义的困惑与争议（常常会演变成辱骂）中。

我们不可以把这个问题看作数学领域的相对主义而掉以轻心。我们可以为一组数学符号赋予任何含义，但这并不意味着我们就应该这么做。与现实生活一样，我们关于数学问题的选择，有的是明智的，有的则非常愚蠢。在数学领域，明智的选择可以消除毫无意义的困惑，同时不会引发新问题。

在计算0.9+0.09+0.009+……时，加项越多，和就越接近于1，但永远不会等于1。无论我们在离1多近的位置上设置警戒线，在经过有限次数的加法运算之后，和最终都会越过这条警戒线，而且永远不会停下前进的步伐。柯西指出，在这样的情况下，我们应该直接将这个无穷级数的值定义为1。随后，他绞尽脑汁，希望证明在他的这个定义被接受之后，不会在其他方面造成相互矛盾的糟糕局面。在这个过程中，柯西构建了一个框架体系，完美地提升了牛顿微积分学的严谨程度。当我们指出某条曲线的局部接近于直线时，大致的意思是说：我们越靠近观察，这条曲线就越接近于直线。在柯西的框架中，我们无须提及任何无穷小的数字或者其他概念，以免心存疑虑的人因此担心害怕。

当然，这样的做法是要付出代价的。0.999……这个谜之所以应该被破解，是因为它会导致我们的直觉陷入自相矛盾的状态之中。我们希望可以像上文那样，方便地对无穷级数的和进行各种代数运算，因此，我们需要它等于1。但另一方面，我们又希望每个数只能用一个独一无二的十进制数字来表示，因此，我们不应该随心所欲，一会儿说这个数是1，一会儿又说它是0.999……。我们不可能同时满足这两个要求，而只能放弃其中一个。柯西提出的这个方法经过两百年时间的验证，其价值得到了充分的证明，不过，这个方法放弃了十进制展开的唯一性。在英语中，我们有时会用两个不同的字母串（单词）表示现实世界中的同一个事物，但我们并没有因此陷入任何麻烦。同样，使用两个不同的数字串表示同一个数，也不是不可以接受的。

至于格兰迪级数1-1+1-1+……，则是柯西定理无法处理的级数之一，这类发散级数是哈代的著作讨论的内容。1828年，柯西定理的早期崇拜者之一、挪威数学家尼尔斯·亨利克·阿贝尔（Niels Henrik Abel）认为：“发散级数是捏造出来的概念，非常邪恶，以此为基础的任何证明都是可耻的。”^[8]而哈代的观点，也就是我们现在所持的观点，则十分宽容，认为对于发散级数而言，有的我们应该赋值，有的则不应该赋值，还有的需要根据其所在的具体环境决定是否应该为之赋值。现代数学界认为，如果需要为格兰迪级数赋值，这个值应该是1/2，因为研究发现，对于所有值得关注的无穷级数，理论要么为之赋值1/2，要么（如柯西定理）干脆拒绝为之赋值。^[9]

柯西所给出的定义非常复杂，精确地写出来需要费不少工夫，即使对柯西本人来说也不是件易事，他没能用语言明晰地表述自己的思想。^[10]（在数学中，对新观点、新概念最清楚明了的描述，基本上都不是直接来自创建者本人。）柯西是一名坚定的保守主义者和君主主义者，但他引以为豪的是，他在数学研究中极具批判精神，勇于挑战学术权威。他在成功地摒弃容易招致质疑的无穷小量之后，单方面修改了他在巴黎综合理工大学的教学大纲，力求传播自己的新思想。他的这一做法激怒了他身边的所有人：他的学生深感困惑，因为他们报名学习的是针对大学一年级学生的微积分学，而不是介绍纯数学前沿动态的学术成果；他的同事们认为，学校里学习工程技术的学生没有必要吃这个苦头，去钻研柯西讲授的那些高深内容；学校管理部门则严令他按纲施教，不得自由发挥。校方强行制定了新的课程内容，强调在微积分教学中采用包含无限小量概念的传统方法。同时，为了防止柯西置若罔闻，校方还安排人进入他上课的教室做听课记录。但是，柯西并没有就范，柯西对工程师需要学习什么内容不感兴趣，他感兴趣的是探索真理。

从学校的立场来看，我们很难为柯西的这一做法进行辩解，但我仍然支持他。数学研究的最大乐趣之一，就是我们清楚地感受到自己对某个问题的理解是正确、完全、彻底的，我在其他领域从未有过类似的感受。而且，一旦你知道了正确的做法之后，就很难说服自己去介绍错误的做法，性格执拗的人更加不可能这样做。

【注释】

[1]说明一下，我们不知道第一个证明勾股定理的人是谁，不过学术界几乎可以肯定不是毕达哥拉斯（Pythagoras）本人。从与他同时代的人所遗留的资料中可以发现，公元前6世纪，一位名叫毕达哥拉斯的人学识渊博，声名显赫，但是，除此以外，我们对他几乎一无所知。对他生平与研究工作的记载要追溯至他死后800年左右的时间，在此之前的毕达哥拉斯完全是个谜，除了一群哲学门徒自称“毕达哥拉斯”。

[2]这肯定是不可能的，但是直到18世纪人们才完成了相关证明。

[3]事实上，早先的筒仓不是圆柱体。直到20世纪，威斯康星大学的金（F·H·King）教授发明了现在普遍采用的圆柱体结构，筒仓才变成了圆柱体。金的这项发明是为了解决筒仓角落里的谷物容易腐烂变质的问题。

[4]当然，我们可以通过在平面上平移、旋转前面的那个等腰直角三角形，得到能组成一个正方形的4个三角形。我们默认这些操作不会改变图形的面积。

[5]不考虑万有引力、空气阻力等影响，在较短的时间内，其运动轨迹非常接近直线。

[6]约翰·康威（John Conway）提出的“超实数”（surreal numbers）就是一个典型的例子。从这个名字就可以看出来，这些数字非常迷人，却又非常怪异。超实数是数字与战略博弈构成的一个奇怪混合体，人们至今还没有完全探索出其中的精义。我们可以从伯莱坎普（Berlekamp）、康威与盖伊（Guy）合著的《稳操胜券》（Winning Ways）一书中了解这些奇怪的数字，还可以学到大量博弈论方面的数学知识。

[7]数学上的所有突破都是在前人研究成果的基础之上实现的，柯西的极限存在准则也不例外。柯西给出的定义在很大程度上秉承了让·勒朗·达朗贝尔（Jean le Rond d'Alembert）判别法的核心思想。不过，毫无疑问，柯西定理是一个转折点，从此以后，数学进入了现代分析的时代。

[8]格兰迪最初在神学研究中应用了发散级数，考虑到这个事实，阿贝尔的这个观点极具讽刺意味。

[9]琳赛·洛翰（Lindsay Lohan）有一句名言：“极限是不存在的。”

[10]我们在数学课程里学到的e和Δ，就来自柯西积分公式。