微积分与牛顿的惊人发现：运动物体的运动规律

接下来，我要教大家关于微积分的知识。准备好了吗？首先，我们要感谢艾萨克·牛顿。他告诉我们，圆的研究并没有特别大的难度。所有的平滑曲线，只要我们无限接近地观察，都跟直线非常相似。只要没有尖角，无论这条曲线如何弯曲盘旋，都无伤大雅。

发射导弹时，导弹会以下图所示的轨迹运动：

导弹的运动轨迹是一条抛物线，先上升，然后下降。在万有引力的作用下，所有的运动轨迹都会呈曲线形并接近地面，这是物理学的一个基本事实。但是，如果我们取非常短的一段并靠近观察，这条曲线就会变成下图所示的形状：

再靠近一些，就会变成这样：

上图中的导弹运动轨迹在肉眼看来就像一条直线，以一定的倾斜角度向上运动。越靠近观察，曲线就越接近直线。(www.xing528.com)

接下来是观念上的一个飞跃。牛顿说，好吧，让我们继续——把视野缩小到无限小，小到无法计量的程度，但不是零。这时候，我们研究的就不是一段很短的时间内导弹的运动轨迹了，而是某一个时点的情况。本来接近于直线的运动轨迹直接变成直线了，牛顿把这条直线的倾斜度叫作流数（fluxion），我们现在称之为导数（derivative）。

阿基米德不愿意完成这种飞跃。他知道，多边形的边越短，就越接近于圆，但是，他绝对不会认为圆其实就是一个有无穷多条边而边长极短的多边形。

与牛顿同时代的人中，也有人不愿意凑这个热闹，反对者中名气最大的是乔治·贝克莱（George Berkeley）。贝克莱用充满嘲讽的语气贬低牛顿提出的无限小这个概念：“这些流数是什么呢？其实就是迅速消逝的增量的速度。那么这些迅速消逝的增量又是什么呢？它们既不是有限量，也不是无限小的量，什么都不是。难道我们不能称它们是‘逝去量的鬼魂’吗？”遗憾的是，这一段逸事在现代数学文献中却没有记载。

然而，微积分的确有效。如果围绕头部摆动一块石头，在突然放手后，石头就会以一个恒定的速度飞出去，运动轨迹呈直线形^[5]，方向则正好是根据微积分基本公式计算的放手时石头的运动方向。这是牛顿的另一个惊人发现：运动物体会做直线运动，除非该物体受到其他力的作用，才会偏离原来的方向。这也是我们习惯于线性思维的原因之一：我们对时间与运动的理解，是在生活中观察到的各种现象的基础上形成的。甚至在牛顿提出他的那些定律之前，我们就已经知道物体会沿直线运动，除非有外力改变这种状况。