密度矩阵基本方程与光学-非线性光学与光子学

任何光学介质的宏观电极化行为的定量特性，原则上均可采用密度矩阵的方法进行讨论。众所周知，密度矩阵方法是量子力学中的微扰论与宏观统计力学方法相结合的产物，它能从组成介质的个别粒子的微观能态特性及其相互间的相互作用特性出发，推导出整个介质的宏观物理特性。这种方法的优点是推导过程大为简化，而结果又具有较高的数学概括性［1～3］。将光学介质看成一个由大量微观粒子组成的宏观体系，设该体系的总哈密算符为H，描述介质状态的密度矩阵（亦为算符）为ρ，则在不计及阻尼作用的前提下，密度矩阵随时间的运动方程为

在计及有限阻尼作用存在的情况下，上面的方程可改写为

式中，右端第二项为从形式上唯象引入的由阻尼引起的密度矩阵弛豫项。设系统的哈密顿由两项贡献组成

其中，H0为无光波场入射情况下介质本身的无微扰哈密顿，而H'（t）则为有光波场入射作用情况下介质与光场之间的相互作用哈密顿，它可看成与时间有关的微扰。在有微扰存在的情况下，可将密度矩阵算符展为级数形式

式中，ρ（r）（t）正比于微扰哈密顿量H'（t）的r次幂，而ρ（0）则表示无微扰作用存在时，介质粒子体系的初始密度矩阵算符。若介质处于热平衡状态，则有(www.xing528.com)

式中，Z为归一化常数，kB为玻耳兹曼常数，T为介质处于热平衡状态时的绝对温度。将式（18-4）和式（18-3）代入式（18-2）后，可分别求得各次密度矩阵展开项满足的运动方程为

式中，代表相应的阻尼弛豫项，这里假设阻尼作用比较弱；而Γ为纯粹从形式上唯象引入的阻尼因子常数，从以后的进一步推导过程中可看出，它只有在描述密度矩阵的非对角矩阵元的弛豫行为时才有确定的物理意义。

由式（18-6）可看出，假设ρ（0）和H'（t）为已如，则可通过逐次求解方法分别求出ρ（1）至ρ（r），从而可确定总的密度矩阵算符ρ。另一方面，如果已经知道了要研究的体系的ρ，则可通过下面普遍成立的公式立即求出与某一算符对应的宏观平均量为

这里，符号Tr（）表示矩阵的迹。按照这一公式，如果知道了介质单位体积内电偶极矩之和的算符形式，则可通过ρ直接求出介质的宏观电极化强度矢量以及相应的电极化率定量表示式。因此问题的要点，首先是应该求出粒子体系的各阶密度矩阵分量。