光学参量放大和振荡条件的推导-书籍《非线性光学与光子学》

将光学参量放大看作一种三波混频过程，并假设三种波均为沿z轴方向传输的线偏振平面单色波，得

而与它们对应的二阶非线性电极化强度分量为

将式（3-36）和式（3-37）代入耦合波方程式（2-47），参与光参量放大作用的三种光波场振幅满足的方程为

式中，Δk=kp-（ks+ki）为同方向作用情况下的失相位匹配因子。考虑到二次非线性电极化率矩阵元的对易关系式（2-32）和式（2-36）后，可得出有效非线性电极化系数为

此外，非线性晶体入射表面处三种光波振幅满足边界条件：

假设满足相位匹配条件Δk0，并且为弱信号光入射，因此在所考虑的不太长的空间范围内，泵浦光振幅的减弱可以忽略，亦即近似认为Ap（z）=Ap（0）为一常数，则式（3-38）可简化为

上面方程的解为［3，4］

式中，(www.xing528.com)

如果在所考虑的非线性晶体的空间作用范围内有下述条件成立：

则表示式（3-42）中的双曲函数可分别用相应的指数函数近似代替，亦即

由此可见，γ0是参量放大作用的指数增益系数。由式（3-43）可见，在弱信号入射和泵浦光的衰减可忽略的前提下，参量放大过程的振幅增益因子γ0与有效二次非线性电极化系数成正比，此外与入射泵浦光的振幅（光强的开方）成正比。

对光学参量振荡系统来说，设腔内非线性介质对信号光和闲频光的损耗系数均为α0，而共振腔输出反射镜对上述两种光的反射率均为R（另一端反射镜为全反射），此外设共振腔镜对入射泵浦光有较高的透过率，则光学参量振荡的阈值条件为

式中，l0为非线性介质的增益长度，指数因子中第一项代表增益作用，第二项代表介质损耗；后一项指数因子中的2l0表示光在腔内往返一次的损耗，而信号光和闲频光由输出镜反射回来迎着入射泵浦光前进时，由于相位匹配条件不再满足，故无参量增益作用。振荡阈值条件式（3-45）还可改写为

进一步将增益因子表达式（3-43）代入上式后，可得到阈值条件的最后表达式为

因为，故上式的物理含义是，对给定的晶体材料、增益长度和腔镜反射率来说，入射泵浦光强必须超过一定阈值，才能激励起有效的光学参量振荡。