单色光场的复数表示形式－非线性光学与光子学

最后，有必要再来说明一下本书中有关光场函数的数学表示形式问题。本来光波电场强度矢量E（t）和介质电极化强度矢量P（t）都是实数的物理量。但在本书的公式推导框架内，如果将这两个物理量的有关单色傅里叶分量E（ω）和P（ω）等也看成实函数，则很多数学推导和求解过程将变得十分不方便，有时甚至推导不出人们所希望获得的某些重要结论。反之，若在形式上将场函数E（ω）和P（ω）等表为一般的复函数形式，将使大部分数学处理过程变得极其简洁明了，而且得出的结论与采用实函数形式得出的结论亦相一致，有时还能给出额外的有价值的信息。采用波场函数复数表示式优越性有两个最为明显的例证：其一是可在形式上引入负频率组分，从而可以描述两个单色光波的差频相互作用或多个单色光波间更为复杂的混频相互作用；其二是可用来描述作用波场的波面畸变信息，从而可推导出光学相位共轭波的有关特性。

根据公式（2-5），可将光波场单色傅里叶分量表示为如下的逆傅里叶积分：

既然E（t）是实函数，则一般情况下E（ω）为复函数，对后者进行复共轭运算可得

由此可进一步得出

上式表明，在非线性电极化过程的公式描述中，E*（ω）=E（-ω）的作用相当于一个在形式上具有负频率组分的单色场参与“和频”作用，而实际上这就是一种减频或差频作用。(www.xing528.com)

利用波场函数的复数表示和共轭含义，可以用十分严格而又自然的方式写出非线性耦合波方程组中所需要的非线性电极化强度有关傅里叶分量的完备表达式。例如，对E（ω1）和E（ω2）通过二阶非线性和频效应产生ω1+ω2ω3波的过程来说，参与相互耦合作用的三种频率处的二阶电极化强度的傅里叶分量可分别写为

与此相似，对三阶和频过程而言，参与相互耦合作用的4种频率处的三阶电极化强度的傅里叶分量分别为

将式（2-51）或式（2-52）代入耦合波方程式（2-43）或式（2-47），可分别得到一组三联立或四联立方程组，从而至少可在原则上对它们分别求解。

需要说明的是，将单色或准单色光波场表为复数形式，并不与实验测量产生任何矛盾。因为在实验上直接测量的是某单色组分的光强I（ω）∝E（ω）·E*（ω）∝|E（ω）|2（恒为实数），而不是E（ω）本身。