非线性电极化作用下的耦合波动方程-《非线性光学与光子学》成果

按照麦克斯韦电磁场理论，对于非磁性绝缘光学介质而言，描述电磁场随时空变化的方程为

式中H是磁场强度，ε0和μ0分别为真空中介电常数和磁导率。在普遍情况下，电场强度E、磁场强度H、介质电极化强度P可表现为任意形式的时空函数，可分别把它们表示为傅里叶积分的形式：

这种表示的物理意义是，任意波场均可表为无数多单色简谐波的一定形式的叠加，式中E（ω，r）等为相应波场单色简谐分量的振幅函数，它们本身是频率和位置坐标的函数。

将式（2-38）代入式（2-37）后可分别得到各简谐分量满足的方程为

在导出上式过程中，分别作了如下假设：

这里，P（1）和P'分别代表相应函数的线性和非线性部分。对式（2-39）中第二个方程两端同时作▽×运算，并将第一个方程代入后可得

考虑到

式中ε（ω）为介质在ω频率处的普通（线性）介电常数，εr（ω）则是同一频率处的相对（线性）介电常数。式（2-41）可最后写为如下形式：

以上导出的是，在考虑到可能存在非线性电极化效应的情况下，介质内电场强度和与其对应的电极化强度单色傅里叶分量应满足的基本方程式，它通常被称为电磁场的非线性波动方程式。上式中的非线性电极化强度单色傅里叶分量的具体表示形式可由式（2-20）（二阶非线性）或式（2-23）（三阶非线性）给出。以和频过程为例，它们可分别表示为

在普通弱光入射作用的情况下，可认为P'（ω，r）0，则式（2-43）过渡到普通情况下的线性波动方程为(www.xing528.com)

此时介质对频率为ω的单色作用光场E（ω，r）的线性电极化响应是仅通过介质的介电常数ε（ω）的特性反映出来的；而其他任意频率成分的作用光场对P（1）（ω，r）或E（ω，r）没有任何影响。

在强相干光场作用情况下，由类似于式（2-44）表示的二阶或三阶非线性电极化效应不再能继续忽略，此时式（2-43）对于作用光场的傅里叶分量而言，成为非线性的微分方程。这时的介质相似于一种“有源”介质，其物理含义是，在入射光场中存在有E（ω1，r），E（ω2，r），E（ω3，r）等成分的情况下，介质可通过二阶或三阶非线性电极化效应，在新频率处产生相干电磁辐射，这一新频率可为ω1，ω2，ω3等的任意线性代数组合。

在只考虑二阶非线性电极化效应的前提下，非线性波动方程式（2-43）中实际包含了三个未知场函数，亦即方程式左端的E（ω，r）、方程式右端所含的E（ω1，r）和E（ω2，r）。据此，只有分别对E（ω1，r）和E（ω2，r）写出与式（2-43）形式相同的波动方程，这两个方程的右端分别对应着P（2）（ω1=ω-ω2，r）和P（2）（ω2=ω-ω1，r），然后对以上三个非线性波动方程同时进行联立求解，才有可能在原则上同时确定参与整个过程的三种光波的场强函数。

依此类推，在只考虑三阶非线性电极化效应的前提下，波动方程式（2-43）中实际包含了4个未知场函数，此时必须分别写出4种作用光场满足的相似方程，然后对以上4个方程同时进行联立求解，才有可能对过程给出完备的描述。总而言之，式（2-43）在实质上是确定了一组联立的或耦合的非线性波动方程组，可简称为耦合波方程组。

对式（2-43）的求解在数学上是十分困难的，因此人们不得不采用多种近似方法进行解析求解或数值求解。下面讨论如何利用平面波近似和振幅慢变化近似，将上述方程进行简化的问题。为此，考虑到单色入射激光场的高定向特性，可首先设参与非线性相互作用的光波场，都是按z轴方向传输的单色平面波。例如，所考虑的频率为ω的光波场强可表示为

式中，a0为该平面波电场矢量偏振方向上的单位矢量，A（ω，z）为标量振幅函数，k=2πn（ω）/λ为该平面波的波矢模量，λ为真空中的光波长，n（ω）为介质在ω频率处的普通折射率。其次，考虑到非线性电极化效应相对于线性电极化效应而言仍可看成是一种相对比较弱的微扰过程，因此可假设在与光波波长相比拟的空间范围内，参与非线性作用的各单色波场之振幅的相对变化很小，以至于各有关光场振幅函数对空间变量的二阶导数可以近似忽略，这就是所谓的光场振幅慢变化近似，它被广泛用于非线性光学的理论处理中。

将式（2-46）代入非线性波动方程式（2-43）中并采用振幅慢变化近似后，可求得光场振幅沿传播方向上的变化方程：

式中的标量振幅函数A（ω，z）除了是其传播方向上距离z的函数外，在更一般的情况下，还可能是横向坐标（x，y）的函数，因此在以上方程中采用了偏导符号。此外，作用光场的等相位面在较小的程度上可能以一定方式偏离理想的平面波面，因此A（ω，z）允许取复函数的形式。如前所述，由于方程右端P'（ω，z）包含了其他频率成分单色波场振幅函数的二次或三次乘幂项，因此式（2-47）实际上代表了一组多波耦合的联立方程组，并可简称为采用平面波近似和振幅慢变化近似的耦合波方程。很显然，这一方程在形式上已大为简化，但对其进行准确解析求解，在一般情况下仍然是十分困难的。在本书后面有关章节中，进一步采用其他的假设和简化近似，该耦合波方程可以得到近似的解析解。