非线性电极化率的基本性质-非线性光学

从上节推导可看出，表征不同频率单色相干光场在介质中相互作用，并通过感应电极化而引起相干次波辐射的关键物理量，是光学介质的各阶电极化率。下面先简述它们的基本性质，具体的理论推导详见本书最后一章。

1）各阶电极化率的相对大小

设所考虑的介质为非共振介质，亦即它对参与相互作用的不同频率的单色光波均为透明，并且感应电极化效应主要是由电子云畸变这一物理机制导致的，则相邻阶次电极化率（张量元）的相对比值在量级上可近似表示为

式中，|E0|为原子内的平均电场强度的大小（对氢原子其量级约为1011 V/m）。则按照式（2-15），相邻阶次电极化率强度分量的相对比值在量级上可近似表示为

式中，|E|为入射相干光的平均电场强度的大小。

在普通弱光入射作用情况下，光频场强的数值|E|在量级上远远小于|E0|。因此二阶以上的非线性电极化强度贡献均可忽略。对于单色强激光入射而言，|E|的数值在量级上易于做到与|E0|相比或者相近的程度（参见附录2），因此二阶或三阶非线性电极化强度贡献往往不能再忽略，这就是许多非线性光学现象能够产生的物理根源。

2）空间对称性对各阶电极化率的限制

作为介质的一种宏观物理量，各阶电极化率应满足相对于介质本身允许的对称操作保持不变的要求，这就使得对于具有给定宏观空间对称性的介质而言，各阶电极化率的不为零而又彼此独立的张量元的数目大为减少。在这方面一个最重要的结论是，在电偶极矩作用近似下，对具有对称中心的晶体和对于各向同性介质（气体、液体、玻璃体）而言，偶阶次的非线性电极化率（χ（2），χ（4），…）等的所有张量元均为零。本书书末的附录4给出了不具对称中心的各类晶体的二阶电极化率不为零的独立张量元的分布；附录6给出了各类晶体和各向同性介质的三阶电极化率不为零的独立张量元的分布规律。

3）各阶电极化率的共振增强特性

第18章的理论分析可以表明，如果参与作用的多种单色光场的某一频率或多种频率间的代数组合与所作用的光学介质的某种形式的共振跃迁频率相等或足够接近时，可使介质适当阶次的电极化率（张量元）的数值大为增加，这种情况称为电极化率的共振增强或准共振增强效应。不过在利用这种增强效应时，准确的共振作用往往会导致参与作用的光场强度的严重减弱（通过单光子吸收或双光子吸收等途径），这往往是不利的；另一方面，上述共振吸收过程足够强时，有可能导致介质原子或分子在其不同本征能级上的相对分布发生明显变化，从而使有关阶次的电极化率不再为介质常数，而成为依赖于作用光波场强的变化量。基于上述两方面的原因，对非线性电极化率的共振增强效应的利用是有条件的；而且即使必须利用时，也往往要在作用光波的减弱和非线性电极化率的增强之间进行折中选择，如采用准共振增强的办法。

4）非线性电极化率张量元的互换对称性(www.xing528.com)

由式（2-20）、式（2-22）、式（2-23）、式（2-25）等可以看出，光学介质的各阶非线性电极化率的张量元，是其直角坐标下角标（i，j，k，…）等以及作用光频率（ω1，ω2，ω3，…）等的函数。可证明，在一般情况下（包括共振或准共振作用的情况），对二阶和三阶电极化率张量元分别有以下的互换对称关系式成立：

以上两式表明，非线性电极化率张量元对于除第一个角标i以外的其他角标（j，k，l，…）与相应频率组分（ω1，ω2，ω3，…）的位置同时任意互换保持不变。这种特性称为固有互换对称性。

在非共振作用的前提下，互换对称性范围可进一步扩大。此情况下，可在形式上引入一个新的频率组分ω'=-（ω1+ω2+…）作为非线性电极化率的隐参量，则除了式（2-30）和式（2-31）继续成立外，还有以下的附加互换对称性成立：

上两式表明，是在非共振作用情况下，非线性电极化率张量元相对于其下角标（i，j，k，l，…）和对应的频率组分（ω'，ω1，ω2，ω3，…）的位置同时任意互换保持不变。这种特性称为非线性电极化率张量元的全互换对称性。

5）各阶电极化率的复共轭性质

理论上可以证明，在满足共振或准共振作用的前提下，光学介质的各阶电极化率一般均表现为复数形式，亦即均可表示为其实部与虚部相加的形式。由各阶非线性电极化率的唯象定义关系式（2-7）可以看出，由于已经确定电极化反应函数R（n）等应为实数，因此对χ（n）等的复数共轭运算将导致以下关系成立：

这是非线性电极化率的复共轭对称性。

还可以进一步证明，在非共振作用的前提下，可近似认为光学介质的各阶电极化率均为实数，此时应有

另一方面，式（2-34）恒应得到满足，因此由式（2-34）和式（2-35）可得出

上式表明，非线性电极化率（张量元）相对于其所有频率组分的同时反号保持不变。这种特性可称为时间反演对称性，它只对非共振作用情况才成立。利用以上所介绍的有关电极化率张量元的互换对称性、复共轭对称性及时间反演对称性，可使描述一个具体非线性光学过程所必需的独立的不为零的非线性电极化率张量元的数目进一步减少，从而大大简化分析和计算的繁复性。