夫琅禾费单缝衍射实验成果

1）单缝衍射的实验装置

夫朗禾费单缝衍射的实验光路如图12.42（a）所示.线光源S发出的光经凸透镜L1 变成一束平行光，垂直入射到单缝上，单缝的衍射光再由凸透镜L2 会聚到屏幕P 上，屏上将出现与缝平行的衍射条纹，图样以中央明区为中心，两侧对称的分布排列明暗相间的条纹，如图12.42（b）所示.衍射光线与单缝平面法线间的夹角θ 角称为衍射角，它也是考察点P 对于透镜L2 中心的角位置.凡衍射角相同的衍射光线都会会聚在透镜焦平面上的同一点P，但各个子波到P 点的光程并不相同，它们之间有光程差，这些光程差将最终决定P 点叠加后的光振动矢量的大小.

2）单缝衍射的光强分布

菲涅耳采用了一个非常直观而简洁的方法来决定屏幕上光强分布的规律，称为菲涅耳半波带法，如图12.43 所示.单缝的两端A 和B 点发出的子波到P 点的光程差最大，在图中为线段AC的长度，称它为缝端光程差（或最大光程差）.若用δ 表示缝端光程差，则有

图12.43　半波带的划分

式中，a 为单缝AB 的宽度.在衍射角为某些特定值时，菲涅耳把缝端光程差分成很多等宽度的条带，并使相邻两带上的对应点发出的光在P 点的光程差为半波长，这样的条带称为半波带，半波带的份数记为N

从两个相邻半波带的对应点处（如B1B2 的B2 点处和B2A 的A 点处）同样大小的两个面元发出的子波，到达屏幕上P 点的光程差正好是λ／2，在它们相遇时将发生干涉相消.又由于两个面元的大小相同，对P 点的倾斜角θ 也相同，故它们发出子波的振幅近似相等，干涉时将完全抵消.由于相邻两个半波带的对应面元发出的子波都相互抵消，所以可以得出结论：两个相邻半波带的子波在考察点P 的光振动将完全抵消.

（1）单缝衍射明纹、暗纹条件.按上述结论，很容易确定考察点P 的光强是极大（明纹）还是极小（暗纹）.对于P 点，对于某一给定的衍射角θ，如果单缝可以分成偶数个半波带，则所有半波带的作用成对地相互抵消，即合振幅为零，P 点将成为暗纹中心.如果单缝可以分成奇数个半波带，则成对的半波带相互抵消后，还剩余一个半波带，它的子波将合成一个较大的光振动振幅，此时P点将成为明纹中心.由此，可以得到单缝衍射的明、暗纹条件：

如果半波带数N 满足

或缝端光程差满足

则屏幕上P 点将是k 级明纹或暗纹的中心，k 为衍射级次.上述公式称为单缝夫琅禾费衍射的明纹条件或暗纹条件.

应当注意，式（12.73）并不包括k ＝0 的情况.因为对于暗纹条件k ＝0 时，θ＝0，这是中央明纹的中心，不符合该式的含义.而对于明纹条件来说，k ＝0，虽然对应于一个半波带形成的明纹，但仍处在中央明纹的范围内，不会出现单独的明纹.

（2）单缝衍射条纹的角位置.由式（12.73）可以计算出屏幕上k 级明纹或暗纹中心所对应的角位置（或衍射角）θk.由于通常情况下衍射角很小，故有θk≈sin θk.此时

在衍射角θk 已知的情况下，利用上式很容易确定k 级衍射条纹在观察屏幕上的角位置.单缝衍射时，光强按sin θ 的分布曲线如图12.44 所示.单缝衍射图样中各极大处的光强并不相同.中央明纹光强最大，其他明纹光强迅速下降.

（3）单缝衍射条纹在观察屏幕上的位置.若透镜L2 的焦距为f，由式（12.74）可以得到衍射条纹在观察屏幕上的位置xk ＝f tan θk（即P 相对于屏中心O 的位置）.由于屏幕上能分辨的条纹的角度很小，可以用小角度情况下的近似条件tan θk≈sin θk.此时

图12.44　单缝衍射条纹的光强分布

衍射条纹的级次k 为正值时表示条纹在屏幕的上半平面，为负值时则表示条纹在下半平面.

应该说明，上面几个公式中的暗纹中心位置是准确的，但明纹中心位置只是一个较好的近似.

（4）中央明纹宽度.在屏幕中心O 处，θ ＝0，会聚在此处的所有子波光程相等、振动相位相同，叠加时相互加强，使O 点成为衍射条纹中最亮的中央明纹（即0 级明纹）的中心.中央明纹在两个一级（k ＝±1）暗纹中心之间，其角位置满足

线位置满足

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则中央明纹的线宽度Δx0 ＝2fλ／a、角宽度Δθ0 ＝2λ／a.

3）单缝衍射图样的特点

（1）亮度分布.单缝衍射图样中，中央明纹最亮，各级明纹的亮度随着级数的增大而减弱.这是因为衍射角θ 越大，分成的半波带就越多，每个半波带的面积就越小，提供的光能也就越小，再加上产生明纹的那个未被抵消的半波带上，各子波到达P 点时的相位也不相同，其合成振幅远低于中央明纹处光场的振幅.明条纹的亮度随级数k 增大而降低，使得条纹的边界也越来越模糊，以致实际上只能看清中央明纹附近的几级明条纹.

（2）条纹宽度.通常把相邻暗纹中心间的距离定义为明纹宽度.由单缝衍射的暗纹位置公式，可得各级明条纹的角宽度为

线宽度为

而中央明纹的线宽度为Δx0 ＝2fλ／a ＝2Δx，角宽度为Δθ0 ＝2λ／a ＝2Δθ.可见，单缝衍射时衍射条纹的中央明纹宽度是其他各级明纹宽度的两倍.

（3）条纹位置、宽度与缝宽、波长的关系.单缝衍射时，各级衍射条纹的位置和宽度都与狭缝的宽度a 和入射光的波长λ 有关.若入射光的波长确定，则缝宽a 越窄，衍射角越大，条纹位置离中心越远，条纹排列越疏，衍射越显著，观察和测量越清楚、准确；反之，缝越宽，衍射角越小，条纹排列越密，衍射越不明显.当缝宽大到一定的程度（即a ≫λ）时，较高级次的条纹因亮度很小，明暗模糊不清，形成很暗的背景，其他级次较低的条纹完全并入衍射角很小的中央明纹附近，形成单一的明纹，这就是几何光学中所说的单缝的像.这时衍射现象消失，成为直线传播的几何光学.所以，可以说几何光学是波动光学在λ／a→0 时的极限情况.

若用不同波长的复色光入射，例如用白光入射，由于各色衍射明纹按波长逐级分开，除中央明纹中心仍为白色外，其他各级明纹由紫到红的顺序向两侧对称排列成彩色条纹，称为单缝衍射光谱.在较高的衍射级内，还可以出现前一级光谱区与后一级光谱区的重叠现象.

例12.10　用波长为632.8 nm 的单色平行光垂直入射到缝宽为0.5 mm 的单缝上，在缝后放一焦距f＝50 cm 的凸透镜，求观察屏上中央明纹的宽度及一级明纹的位置.

解　（1）由一级暗纹位置

可得中央明纹宽度

（2）一级明纹位置为

即一级明纹位于中央明纹两侧x≈9.5×10－5m 处.

例12.11　在夫琅禾费单缝衍射实验中，用波长λ ＝500 nm 的单色平行光垂直入射缝面.（1）若已知衍射条纹的第一级暗纹对应的衍射角θ ＝30°，求单缝的宽度.（2）如果所用单缝的宽度a ＝0.50 mm，在焦距f＝1.0 m 的透镜的焦平面上观察衍射条纹，求中央明纹和其他各级明纹的宽度.

解　（1）由暗纹公式，对第一级暗纹应有

由θ＝±30°，可以求得缝宽

实际上，制造如此窄的单缝在工艺上是相当困难的，而且由于缝太窄通过单缝的光强太弱，观察起来也十分困难.常用的单缝要宽得多.

（2）中央明纹宽度

其他各级明纹宽度