大学物理学：法拉第电磁感应定律

法拉第对电磁感应现象进行了定量研究，总结得出了电磁感应的基本定律.感应电流的存在说明回路中存在电动势，这种电动势称为感应电动势，用εi 表示.由闭合回路中磁通量的变化直接产生的结果应是感应电动势.当通过导体回路的磁通量随时间发生变化时，回路中就有感应电动势产生，从而产生感应电流.这个磁通量的变化可以是由磁场变化引起的，也可以是由于导体在磁场中运动或导体回路中的一部分切割磁力线的运动而产生的.感应电动势比感应电流更能反映电磁感应现象的本质——如果导体回路不闭合就不会有感应电流，但感应电动势仍然存在.所以法拉第用感应电动势来表述电磁感应定律，叙述如下：

当穿过回路的磁通量（B 通量）Φm 发生变化时，回路中产生的感应电动势εi 与磁通量随时间变化率的负值成正比.如果采用国际单位制，则此定律可表示为

式中的负号反映了感应电动势的方向与磁通量Φm 变化之间的关系.

感应电动势方向的符号规定如下：在回路上先任意选定一个方向作为回路的绕行正方向，再用右手螺旋法则确定此回路所围面积的正法线单位矢量en 的方向；然后确定通过回路面积的磁通量的正、负，凡穿过回路面积的磁感应强度B 的方向与正法线方向相同者为正，相反者为负；最后再考虑磁通量Φm 的变化，从式（11.1）来看，感应电动势εi 的正、负只由dΦm／dt 决定.在图11.4中，图（a）、 （c）中B 值增大， 图（b）、（d）中B 值在减小，对图（a）、（b），Φm＞0；在图（a）中，dΦm／dt＞0，则εi ＜0，表示感应电动势的方向和回路上所选定的方向相反；在图（b）中，dΦm／dt＜0，则εi＞0，表示感应电动势的方向和回路上所选定的方向相同.对图（c）和（d）中Φm＜0 的情况，同学们可作同样讨论.

关于法拉第电磁感应定律，应该强调以下几点：

（1）导体回路中产生感应电流的原因，是由于电磁感应在回路中建立了感应电动势，它比感应电流更本质，即使由于回路中的电阻无限大而使电流为零，感应电动势依然存在.

（2）在回路中产生感应电动势的原因是由于通过回路平面的磁通量的变化，而不是磁通量本身，即使通过回路的磁通量很大，但只要它不随时间变化，回路中依然不会产生感应电动势.

图11.4　感应电动势方向的判断

（3）法拉第电磁感应定律中，负号的物理意义在于指明了感应电动势的方向，即之后将要介绍的楞次定律.

当导体回路由N 匝线圈构成时，在整个线圈中产生的感应电动势应是每匝线圈中产生的感应电动势之和.设穿过各匝线圈的磁通量分别为Φm1，Φm2，…，ΦmN，则线圈中总的感应电动势为

在国际单位制中，磁通量Φm 的单位为韦伯，感应电动势εi的单位是伏特（V），因此有1 V＝1 Wb／s.

如果闭合回路的电阻为R，则通过线圈的感应电流为

利用电流的定义式I＝dq／dt，可由上式计算出从t1 到t2 这段时间内，通过导线任一横截面的感应电荷量为

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式中，Ψ1 和Ψ2 分别是t1 和t2 时刻穿过导体回路的全磁通.式（11.5）表明：从t1 到t2 这段时间内，感应电量只与导体回路中全磁通的变化量成正比，而与全磁通变化的快慢无关.实验中通过测量感应电量和回路电阻就可以得到相应的全磁通的变化.这就是地质勘探和地震检测部门中常用到的探测地磁场变化的磁通计的设计原理.

例11.1　一长直螺线管，半径r1 ＝0.020 m，单位长度的线圈匝数为n ＝10 000，另一绕向与螺线管绕向相同，半径为r2 ＝0.030 m，匝数N ＝100 的圆线圈A 套在螺线管外，如图11.5 所示.如果螺线管中的电流按0.100 A／s 的变化率增加，求：

（1）圆线圈A 内感应电动势的大小和方向；

（2）在圆线圈A 的a、b 两端接入一个可测量电量的冲击电流计.若测得感应电量q ＝20.0×10－7 C，求穿过圆线圈A 的磁通量的变化值.已知圆线圈A 的总电阻为10 Ω.

解　（1）取圆线圈A 回路的绕行正方向与长直螺线管内电流的方向相同，则回路A 的法线n 的方向与长直螺线管中电流所产生的磁感应强度B 的方向相同.通过圆线圈A 每匝的磁通量为

根据式（11.3），圆线圈A 中的感应电动势为

图11.5　例11.1 用图

将μ0 ＝4π×10－7 H／m 和已知条件代入上式得

负号说明感应电动势εi 的方向与A 回路绕行的正方向即长直螺线管中电流的方向相反.

（2）圆线圈A 的两端a、b 接入冲击电流计，形成闭合回路.由式（11.5）得感应电量为

式中，Φm1和Φm2分别为t1 和t2 时刻通过圆线圈A 每匝的磁通量.由上式可得

如果时刻t1 为刚接通长直螺线管电流的时刻，则Φm1 ＝0；t2 为长直螺线管中电流达到稳定值I 的时刻，则t2 时刻Φm2 ＝Bπr21.利用以上关系式可得B ＝qR／（Nπr21）.因此，用本题中的装置可以测量电流为I 时，长直螺线管中均匀磁场的磁感应强度.