大学物理学：毕奥⁃萨伐尔定律的应用

磁场和电场一样也具有可叠加性，因而磁场遵从叠加原理，即任意载流导线在P 点的磁感应强度B，等于所有电流元Idl 在P 点的磁感应强度dB 的矢量和，其数学表达式为

如果空间中有n 根载流导线，则任意一点的磁感应强度等于各载流导线单独存在时在该点产生的磁感应强度的矢量和，即

通常称式（10.19）和式（10.20）为磁感应强度叠加原理，简称磁场叠加原理.必须指出，电流元与点电荷不同，它不可能在实验中单独得到，所以毕奥⁃萨伐尔定律不能由实验直接验证.但是根据毕奥⁃萨伐尔定律得到的总磁感应强度都与实验结果符合，从而间接地证明了毕奥⁃萨伐尔定律的正确性.

例10.2　求载流直导线的磁场.

解　在真空中有一长为L 的载流直导线，其中通有电流I.设P 点到直导线的垂直距离为a.在载流直导线上任取一电流元Idl，它到P 点的矢径为r，如图10.7 所示.

根据毕奥⁃萨伐尔定律，任一电流元在P 点产生的磁感应强度的方向均为垂直纸面向内，大小为

图10.7　例10.2 用图

式中，θ 为Idl 与r 的夹角.由磁场叠加原理，所有电流元在P 点产生的磁感应强度的大小为

上式中变量l、r、θ 并不独立，它们满足

对l 取微分，有

将上面的关系式联立后可得

式中，θ1 和θ2 分别为载流直导线起点处和终点处电流元与矢径r 之间的夹角.

讨论：

例10.3　求载流圆环轴线上的磁场.

解　设真空中有一半径为R 的细载流圆环，其电流为I，轴线上的P 点与圆心O 相距为a，圆环上任一电流元Idl 与到P 点的矢径r 之间的夹角均为90°，如图10.8所示.由毕奥⁃萨伐尔定律知，该电流元在P 点激发的磁感应强度dB 的大小为

图10.8　例10.3 用图

由磁场的对称性分析可知，各电流元在P 点激发的磁感应强度大小相等，方向各不相同，但是与轴线的夹角均为α.因此我们把磁感应强度dB 分解成平行于轴线的分量dB／ ／和垂直于轴线的分量dB⊥.它们在垂直于轴线方向上的分量dB⊥互相抵消，沿轴线方向的分量dB／ ／互相加强.所以P 点的磁感应强度B 沿着轴线方向，大小等于细载流圆环上所有电流元激发的磁感应强度dB 沿轴线方向的分量dB／ ／的代数和，即

磁感应强度B 的方向与圆环电流环绕方向满足右手螺旋法则.(https://www.xing528.com)

讨论：

例10.4　求载流密绕直螺线管内部轴线上的磁场.

解　螺线管就是绕在圆柱面上的螺旋形线圈.如果螺线管上各匝线圈绕得很密，每匝线圈就相当于一个圆线圈，整个螺线管就可以看成由一系列圆线圈并排起来组成.因此螺线管在某点产生的磁感应强度就等于这些圆线圈在该点产生的磁感应强度的矢量和.

图10.9　例10.4 用图

设真空中有一均匀密绕载流直螺线管，半径为R，电流为I，单位长度上绕有n 匝线圈，如图10.9 所示.在螺线管上距P 点l 处取一小段dl，该小段上线圈匝数为ndl.由式（10.22）可知，该小段上的线圈在轴线上P 点所激发的磁感应强度的大小为

磁感应强度dB 沿轴线方向、与电流成右手螺旋关系.因为螺线管的各小段在P 点所产生的磁感应强度方向相同，所以整个螺线管所产生的总磁感应强度

根据图10.9 中的几何关系，有

微分后得

将其代入式（10.23）得到该载流直螺线管在轴线上P 点产生的磁感应强度的大小为

讨论：

（1）对于无限长载流直螺线管，β1→π，β2→0，所以B ＝μ0nI.这表明，在无限长载流螺线管的轴线上磁场是均匀的，大小只取决于单位长度的匝数n 和导线中的电流I，而与场点的位置无关.其方向与电流成右手螺旋关系.

例10.5　如图10.10 所示，长直导线载有电流I，试求穿过矩形平面的磁通量Φm.

解　由例题10.2 已知载流导线周围的磁感应强度大小为

图10.10　例10.5 用图

故矩形平面处于非均匀磁场内，而磁感应强度B 的方向相同，均垂直纸面向里.在距导线为r 处取一长为l、宽为dr 的面元dS ＝ldr，有

将上式代入式（10.16），得到整个矩形的磁通量为