静电场中的导体-大学物理学

1）静电感应现象

通常的金属导体都是以金属键结合的晶体，处于晶格结点上的原子很容易失去外层的价电子，而成为正离子.脱离原子核束缚的价电子可以在整个金属中自由运动，称为自由电子.在不受外电场作用时，自由电子只作热运动，不发生宏观电量的迁移，因此整个金属导体的任何宏观部分都呈电中性状态.

当把金属导体放入电场强度为E0 的静电场中时，情况将发生变化.金属导体中的自由电子在外电场E0 的作用下，相对于晶格离子做定向运动，如图9.27（a）所示.电子的定向运动，并在导体一侧面集结，使该侧面出现负电荷，而相对的另一侧面出现正电荷，如图9.27（b）所示，这就是静电感应现象.由静电感应现象所产生的电荷，称为感应电荷.感应电荷必然在空间激发电场，这个电场与原来的电场相叠加，因而改变了空间各处的电场分布.我们把感应电荷产生的电场称为附加电场，用E′表示.空间任意一点的电场强度应为

图9.27　导体的静电平衡

2）导体的静电平衡及条件

在导体内部，附加电场E′与外加电场E0 方向相反，并且只要E′不足以抵消外加电场E0，导体内部自由电子的定向运动就不会停止，感应电荷就继续增加，附加电场E′将相应增大，直至E′与E0 完全抵消，导体内部的电场为零，如图9.27（c）所示，这时自由电子的定向运动也就停止了.在金属导体中，正、负感应电荷电量相等，自由电子没有定向运动的状态，称为静电平衡.导体建立静电平衡的过程就是静电感应发生并达到稳定的过程.实际上，这个过程是在极其短暂的时间内完成的.

感应电荷所激发的附加电场E′，不仅导致导体内部的电场强度为零，而且也改变了导体外部空间各处原来电场的大小和方向，甚至还可能会改变产生原来外加电场E0 的带电体上的电荷分布.

根据上面的讨论可知，导体达到静电平衡的条件是：

（1）导体内部任一点的场强为零.否则，导体内自由电子的定向运动就会持续下去，那就不是静电平衡.

（2）导体表面上任一点的电场强度方向，都与该点所在的表面垂直.因为在静电平衡时，导体表面的场强可能不等于零，但它必须和其表面垂直，否则，场强将有沿表面的切线分量Et，那么，导体表面层内的自由电子将在Et的作用下沿表面运动，这样导体就没有处于静电平衡的状态，所以，只有表面的场强E 垂直于导体表面时，才能达到静电平衡状态.

3）静电平衡时导体的性质

根据静电平衡时金属导体内部不存在电场，自由电子没有定向运动的特点，不难推断处于静电平衡的金属导体还必定具有下列性质：

（1）整个导体是等势体，导体的表面是等势面.

因为对静电平衡时导体上的任意两点a 和b，有

也就是说，静电平衡时导体内任意两点的电势都相等，所以整个导体为一等势体.又由于a、b 可以是导体表面的任意两点，所以等势体的表面必然是等势面.

（2）导体表面附近任一点的电场强度的大小与该处导体表面上的电荷面密度成正比.

4）静电平衡时导体上的电荷分布

如果导体内无空腔，如图9.28 所示，有一任意形状的导体，导体所带电荷为Q，在其内部作一任意高斯面S，根据高斯定理有

图9.28　实心导体的电荷分布

因为导体静电平衡时其内部的电场强度E＝0，所以有

即

因为S 面是任意的，所以静电平衡时，导体内无净电荷存在，导体所带电荷只能分布在导体外表面上.

如果导体内有空腔时，还要看腔内有无其他电荷存在.

（1）空腔内无其他电荷的情况.考虑任意形状的导体，导体所带电荷为Q，导体内有空腔，腔内无其他电荷.如图9.29 所示，在其内部作一高斯面S，高斯定理为

图9.29　导体空腔内无其他电荷时的电荷分布

因为静电平衡时，导体内的电场强度

所以

即S 内的净电荷为0.

由于空腔内无其他电荷存在，静电平衡时，导体内又无净电荷，所以空腔内表面上的净电荷为0.

但是，在空腔内表面上能否出现符号相反的等量的电荷呢？我们设想，假如有这种可能，如图9.29 所示，在A 点附近出现＋q，B 点附近出现－q，这样，在腔内就会分布起始于正电荷而终止于负电荷的电场线，此时有VA ＞VB.然而静电平衡时，整个导体为等势体，即VA ＝VB，因此，该假设不成立.

由此可见：静电平衡时，腔内表面无净电荷分布，净电荷都分布在导体外表面上.

（2）空腔内有点电荷的情况.如图9.30 所示，对于任意形状的导体，导体电量为Q，其内腔中有点电荷＋q，在导体内作一高斯面S，高斯定理为

图9.30　导体空腔内有点电荷时的电荷分布

因为静电平衡时

所以

又因为此时导体内部无净电荷，而腔内有电荷＋q，所以腔内表面必有感应电荷－q.

因此可得出结论：静电平衡时，空腔内表面有感应电荷－q，外表面有感应电荷＋q，此时外表面电荷总量为q＋Q.(www.xing528.com)

既然在静电平衡时，电荷只能分布在导体的表面上，下面我们进一步讨论导体附近空间的电场强度大小与导体表面电荷密度的关系.如图9.31 所示，在导体表面上取面积元ΔS，当ΔS 足够小时，ΔS 上的电荷分布可认为是均匀的，其电荷面密度为σ，于是ΔS 上所带的电荷量为Δq ＝σΔS.过ΔS 附近一点P 围绕ΔS 作如图9.31 所示的扁圆柱形高斯面，使上、下底面平行于ΔS.下底面处于导体内部，由于静电平衡时，导体内部电场强度为零，所以通过下底面的电通量为零；在侧面，电场强度的方向与侧面的法线垂直，所以通过侧面的电通量也为零；在上底面，场强E 与ΔS 垂直，所以通过上底面的电场强度通量为EΔS，此即通过扁圆柱形高斯面的电场强度通量.由于此高斯面包围的电荷量为σΔS，所以，根据高斯定理可得

图9.31　导体表面电场强度与电荷面密度的关系

有

上式表明，导体处于静电平衡时，导体表面外部靠近表面处的电场强度E，其数值与该处电荷面密度成正比，其方向与导体表面垂直.当导体表面带正电时，E 的方向垂直表面向外；当导体表面带负电时，E 的方向则垂直指向导体.

式（9.27）中的E 是空间所有电荷在P 点处激发的总电场强度，而不仅仅由近导体表面上的电荷或整个导体上的电荷产生.当导体外的电荷分布发生变化时，外电场发生变化，导体上的电荷将重新分布，直到达到静电平衡为止.这样导体表面电荷面密度将发生变化，相应的导体表面处的电场强度也随之改变.

5）曲率半径与电荷面密度的关系　尖端放电

从上面的分析可知，静电平衡时电荷是分布在导体表面的，而且电场的强度是跟电荷密度成正比的.导体达到静电平衡后导体表面的电荷是如何分布的，这比较复杂，定量研究比较困难.因为导体表面的电荷分布不仅与导体本身的形状有关，而且还和它附近有什么样的带电体有关.对孤立的带电导体来说，其表面电荷面密度σ 与曲率半径ρ 有关.实验表明，在导体表面曲率半径较小的部位，即尖锐的地方，电荷面密度较大；在导体表面曲率半径较大的部位，即较平坦的地方，电荷面密度较小；在导体表面曲率半径为负的部位，即凹进去的地方，电荷面密度更小.根据上述结论，对一个非球形的不规则的带电体，其电荷分布应如图9.32 所示.根据上面的结论可进一步推知尖端部分的电场会特别强.

现实中带电导体的尖端附近就会产生很强的电场，当电场强度达到一定程度时，可使空气分子电离，并使离子急剧运动.在离子运动过程中，由于碰撞可使更多的空气分子电离.这就是尖端放电现象.避雷针就是根据尖端放电的原理制造的，用粗铜缆将避雷针通地，通地的一端埋在地下的金属板（或金属管）上，以保持避雷针与大地接触良好.当带电的云层接近时，放电就通过避雷针和通地粗铜导体这条最易于导电的通路持续不断地进行，以免损坏建筑物.

图9.32　不规则导体的表面电荷分布情况

6）静电感应的防止和应用

静电感应在日常中常简称为静电.静电是一种常见的现象，它会给人们带来麻烦，甚至造成危害，这需要加以防止；它也可以利用，为人类造福.

（1）静电的防止.如何防止静电感应带来的危害呢？ 最简单可靠的方法是用导线把设备接地，以便把产生的电荷及时引入大地.我们看到油罐车后拖一条碰到地的铁链，就是这个道理.增大空气湿度也是防止静电的有效方法，空气湿度大时，电荷可随时放出.在做静电实验时，空气的湿度大就不容易做成功的原因就在于此.纺织厂房、雷管、炸药等生产车间对空气湿度要求特别严格，目的之一就是防止因静电引起的爆炸.

（2）静电的利用.那么，给人们带来许多麻烦的静电能不能变害为利，为人类服务呢？ 当然能，并且它还在各方面大显身手，如静电除尘、静电喷涂、静电纺纱、静电植绒、静电复印等.

①静电复印.静电复印可以迅速、方便地把图书、资料、文件等复印下来.静电复印机的中心部件是一个可以旋转的铝质圆柱体，表面镀一层半导体硒，称为硒鼓.半导体硒有特殊的光电性质，复印每一页材料都要经过充电、曝光、显影、转印等几个步骤，而这几个步骤是在硒鼓转动一周的过程中一次性完成的.

②静电屏蔽.根据导体空腔的性质，我们可以得到这样的结论：一个空腔导体，在静电平衡状态下，感应电荷分布在腔体表面，导体内和腔体内电场强度处处为零，也就是说空腔内的区域不受外电场的影响，如图9.33 所示.另外，如果空腔内部存在电量为q 的带电体，则在空腔内、外表面必将分别产生－q 和q 的电荷，外表面的电荷q 将会在空腔外部空间产生电场，如图9.34（a）所示.若将导体接地，则由外表面电荷产生的电场将随之消失，于是腔外空间将不再受腔内电荷的影响了，如图9.34（b）所示.

图9.33　腔内有带电体时腔内外的电场分布

图9.34　腔内有带电体时腔内外的电场分布

利用导体静电平衡的性质，使导体空腔内部空间不受腔外电荷和电场的影响，或者将导体空腔接地，使腔外空间免受腔内电荷和电场影响，这类操作都称为静电屏蔽.

实践中利用静电平衡条件下导体是等势体以及静电屏蔽的原理，工程师发明了在高压输电线路的维修和检测等工作中带电作业的技术.当工作人员登上高压铁塔时，人体通过铁塔与大地相连接，人体与高压线间有非常大的电势差，根据前面的学习我们知道他们之间有很强的电场，该电场会使人体周围空气电离而放电，从而危及人体安全.利用导体空腔静电屏蔽的原理，用细铜丝或导电纤维与纤维编织在一起制成导电性能良好的工作服，通常也叫屏蔽服或均压服，相当于把人体用导体网罩起来，这样电场不能深入到人体内，保证了工作人员的人体安全.电力工作人员就可以在不断电的情况下，安全地在几十万伏高压输电线上工作.静电屏蔽在电磁测量和无线电技术等领域也有广泛应用.例如，常把测量仪器或整个实验室用金属壳或金属网罩起来，使测量免受外部电场的影响.

例9.13　一半径为R1 的导体球带有电量q，球外有一内、外半径分别为R2 和R3 的同心导体球壳带电为Q.（1）求导体球和球壳的电势；（2）若用导线连接球和球壳，再求它们的电势；（3）若不连接球和球壳而是使外球接地，再求它们的电势.

解　（1）由静电平衡条件可知，电荷只能分布于导体表面.在球壳中作一闭合曲面可求得球壳内表面感应电荷为－q.由于电荷守恒，球壳外表面电量应为q＋Q.由于球和球壳同心放置，满足球对称性，故电荷均匀分布形成三个均匀带电球面，如图9.35（a）所示，由电势叠加原理可直接求出电势分布.

图9.35　例9.13 用图

导体球的电势为

导体球壳的电势为

（2）若用导线连接球和球壳，球上电荷q 将和球壳内表面电荷－q 中合，电荷只分布于球壳外表面，如图9.35（b）所示.此时导体球和球壳的电势相等，为

（3）若使球壳接地，球壳外表面电荷被中和，这时只有球和球壳的内表面带电，如图9.35（c）所示.此时球壳的电势为零，即

导体球的电势为

例9.14　如图9.36 所示，在电荷＋q 的电场中，放一不带电的金属球，从球心O 到点电荷所在距离处的矢径为r，试求：

（1）金属球上净感应电荷q′为多少？

（2）这些感应电荷在球心O 处产生的场强E感.

解　（1）由静电平衡条件可知，电荷只能分布于导体表面.靠近点电荷＋q 的一侧球壳表面感应电荷为负电荷，远离点电荷＋q 的一侧球壳表面感应电荷为正电荷.由于电荷守恒，故金属球上净感应电荷q′＝0.

（2）因为球心O 处的场强E ＝0（静电平衡要求），即＋q 在O 处产生的场强E＋与感应电荷在O 处产生场强的矢量和为零，

图9.36　例9.14 用图

所以

方向指向＋q.