大学物理学：电场力做功和静电场环路定理

1）电场力做功

当电荷在电场中移动时，作用在电荷上的电场力就会对它做功.先来考察在点电荷q（q ＞0）的静电场中，把试验电荷q0 由a点沿任意路径移动到b 点电场力所做的功.如图9.19 所示，在q0移动的路径上任意一点C 附近取线元dl，设C 点到q 的距离为r，则C 点的场强为

图9.19　点电荷的电场中电场力做功

若q0 由C 点移动了元位移dl，则电场力所做的元功为

式中， cos θdl＝dr 为dl 沿场强方向的投影.电场力所做的元功即为

把试验电荷q0 由a 点沿任意路径移动到b 点电场力所做的总功为

上式表明，在点电荷q 的静电场中，电场力对试验电荷q0 所做的功与路径无关，只与起点和终点的位置有关.

如果试验电荷q0 在点电荷系q1，q2，…，qn 所产生的静电场中运动，根据场强叠加原理，电场力所做的功应该等于各个点电荷的电场力做功的代数和，即

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由于上式最后一个等号的右端每一项都与路径无关，因此各项之和也必然与路径无关.对于静止的连续带电体，可将其看作无数电荷元的集合，因此也有相同的效果.

由此可以得出以下结论：电场力做功只取决于被作用电荷的起点和终点的位置，与移动的路径无关.这和力学中的万有引力、弹簧的弹性力等做功的特性类似.在力学中我们已经知道，具有这种性质的力称为保守力，所以静电场力是保守力或者说静电场是保守力场.

2）静电场的环路定理

在静电场中，如图9.20 所示，将试验电荷q0 沿闭合路径l（从a 经c 点到b 点，再从b 点经d 回到a 点）绕行一周，则静电场力所做的功为

图9.20　静电场的环路定理

即把闭合路径分为两部分，但从b 经d 点到a 点电场力做的功等于从a 经d 点到b 点电场力做功的负值，而从a 经d 点到b 点电场力做的功又与从a 经c 点到b 点电场力做功相等，与路径无关，因此有

即静电场力移动电荷沿任一闭合路径所做的功为零.考虑到q0≠0，所以上式可写为

在矢量分析中，某一矢量函数沿任一闭合路径的线积分称为该矢量的环流.式（9.13）表明：静电场中电场强度E 的环流恒为零.这一结论称为静电场的环路定理，它是反映静电场为保守力场这一基本性质的重要原理.静电场的环路定理反映了静电场性质的另一个侧面，它说明静电场是保守力场（或无旋场），静电场力是保守力，这是我们在静电场中引入“电势”和“电势能”概念的依据.静电场的环路定理是静电场中的电场线不会形成闭合曲线这一性质的精确的数学表达形式，因此，静电场也称为无旋场.同时，静电场的环路定理也是能量守恒定律在静电场中的特殊形式.上述说法均可由反证法得证.

综合静电场的高斯定理和环路定理，可知静电场是有源无旋场.