大学物理学：静电场的高斯定理

在引入了电通量和电场线两个概念以后，下面从库仑定律和场强叠加原理出发，讨论表征静电场性质的一个基本定理——高斯定理.首先讨论最简单的情况，静电场是由一个点电荷q 产生的.在其所产生的电场中任取一点，该点到点电荷q 的距离为r，以q 为中心，以r 为半径在电场中作一个球面，如图9.14（a）所示，通过该球面的电通量为

如果q＞0，则Φe＞0，表示有q／ε0 条电场线从球面内穿出；如果q＜0，则Φe ＜0，表示有q／ε0 条电场线穿入球面.根据电通量的定义，如果包围点电荷的是一个任意形状的闭合曲面，如图9.14（b）所示，经证明上述结论仍然成立.如果点电荷在闭合曲面外，即闭合曲面没有包围点电荷，则根据电场线的性质，通过闭合曲面的电通量必为零，即凡是穿入闭合曲面的电场线，必定从闭合曲面内穿出，如图9.14（c）所示.

如果静电场是由n 个点电荷共同产生的，其中前k 个点电荷在闭合曲面内，而其余（n－k）个点电荷在闭合曲面外，闭合曲面上任一点的电场强度为

图9.14　高斯定理推导图

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通过闭合曲面的电通量为

即

如果静电场是由一个电荷连续分布的带电体产生的，我们可以把带电体细分成无限多个电荷元，每个电荷元都可以看成点电荷，因此式（9.10）仍然成立.通常把式（9.10）称为真空中静电场的高斯定理.其文字表述为：电场中通过任意一个闭合曲面S 的电场强度通量Φe，等于该闭合曲面所包围的所有电荷的代数和∑q内除以ε0.该闭合曲面常被称为高斯面.

高斯定理具有重要的理论意义，它指出： 当∑q内 ＞0 时，即闭合曲面内是正电荷时，Φe ＞0，说明有电场线从闭合曲面内穿出，所以正电荷是静电场的源头；当∑q内＜0 时，即闭合曲面内是负电荷时，Φe ＜0，说明有电场线穿入闭合曲面，而终止于负电荷，所以负电荷是静电场的归宿.这说明静电场是有源场，电荷就是它的源.