有限长圆柱体柱面受对称力的数学力学分析

当圆柱体在侧面上受有力的作用,而力的分布对称于圆柱体的轴线时,可引用一个以柱面坐标表示的应力函数φ而应用方程式(8.4)。如果取方程

的解为应力函数φ,就可以满足方程式(8.4)。方程(15.1)的解可取为如下的形式

其中f只是r的函数。将式(15.2)代入方程式(15.1),就得到确定f(r)的常微分方程

这是零阶的、宗量为kr的第一类和第二类贝塞尔函数所满足的微分方程。适宜用于实心圆柱体的解,可直接由如下的级数得来

将这个级数代入方程(15.3),得相邻两系数之间的关系式

由此得

代入级数式(15.4),得

方程式(15.5)右边方括号内的级数是虚宗量ikr的零阶贝塞尔函数,通常用I0(kr)代表。以下将用J0(ikr)为这函数的记号而将应力函数式(15.2)写成

方程式(8.4)还有一些解不同于方程式(15.1)的解,其中之一可由上面的函数J0(ikr)导出[递推式I'0(ρ)=I1(ρ)]

这个导数,冠以负号,称为一阶的贝塞尔函数,用J1(ikr)代表。现在来考察函数

通过求导,可知

因为J0(ikr)是方程式(15.3)的解,于是可知f1(r)是如下方程的解

因此,方程式(8.4)的一个解可以取为

结合式(15.6)和式(15.9),可以取应力函数为

将这个应力函数代入方程式(8.3),求得应力分量的表达式如下

其中F1(r),…,F4(r)是r的函数,含有J0(ikr)和J1(ikr)(见注)。利用贝塞尔函数表,容易算出r为任一值时F1(r),…,F4(r)的值,在半径为a的柱面上

图15.1　有限长圆柱体全长柱面受力

适当调整常数k、a0、a1,就得到圆柱体上受各种对称载荷的情形。用l代表圆柱体的长度,并取

就得到当圆柱体侧面上受压力Ancos时常数a0和a1的值。图15.1表示n=1时的情形。用相似的方法可以求得圆柱体侧面上受剪力Bnsin时的解答。

如果作用于圆柱体侧面的压力可以表为级数

而剪力可以表为级数

那么,取n=1,2,3,…,并应用叠加原理,就可以求得问题的解答。

如果不用表达式(15.2)而取应力函数为φ=f(r)coskz,照前面一样进行,就得到代替式(15.9)的应力函数

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图15.2　有限长圆柱体局段柱面受力

适当调整常数k、b0、b1,就得到圆柱体上压力表为正弦级数而剪力表为余弦级数时的解答。因此,结合式(15.10)和式(15.1)～式(15.15),可得圆柱体表面上任意一组轴对称分布的压力和剪力。

图15.2所示为一长度等于πa的圆柱体,受到均匀分布在阴影部分柱面上的剪力的拉伸作用。这时圆柱体截面上的正应力σz的分布是有实用价值的。表15.1中给出这个正应力σz与平均拉应力(以圆柱体的截面积除总拉力而得的应力)的比率。可以看出,靠近表明受载荷部分的局部拉应力,随着距各受载荷部分的距离的增大而迅速减小,并趋近于平均值。

表15.1　断面分布正应力σz与平均拉应力的比值

注:关于式(15.11)中的Fi(r)

在铁摩辛柯的书中,有限长圆柱体求解中用虚变量表述,函数Fi(r)没有给出具体形式。现按第8章中实数解的叙述,将式(15.10)直接写成

式中,k为实参数;r、z为坐标变量。

将这样的φ代入式(8.3)第一、第二式,求Fi(ρ),并使只含I0(ρ)与I1(ρ)。

先将解算中要用到的递推(循环)关系式,用以下形式列出

当η=0,有

Iη为Iη(ρ)的简写。

当η=1,有

I'η(ρ)=dIη(ρ)/dρ,简写为I'η

当η=0,有

当η=1,有

1.将φ代入式(8.3)第一式

下面先分别计算

将上面回代入σr式。

其中

2.将φ代入式(8.3)第二式

将前已计算出回代入τrz

其中

其中

用如上的Fi(ρ),按第9章中方式,对k=1,2,…,∞进行叠加,按ρ=ka时的边界条件,确定Fi(ka)。进而解联立方程确定常数a0、a1(对应于第9章中的An,Bn)。如此求解有限长圆柱体课题,从数学上看更为顺直明确。

此外,前面式(9.3)中Fi(ρ),系用Kη(ρ)的递推式,按这里的演算得出。