孔壁任意轴对压力和剪力的通解

设弹性体在r向方向为无限,在z方向为有限厚L。在z方向被r=a的圆柱孔穿透,孔壁受力为

即在孔壁上受有以孔轴为对称的,但在孔轴方向上则是任意变化的径向压力及剪力。

现可利用式(8.19)来解这一边值问题。因满足式(8.4)的解答式(8.19)中的实参数λ事先未作任何限制,故将式(8.19)对λ进行叠加后无疑亦满足式(8.4),即

将式(9.2)代入式(8.3)中第1、第2式,并利用式(8.12)中第3、第4循环关系式得

其中

当r=a时,令ρ=λa=α后,有

其中Fi(α)皆为定值。

为确定常数Aλ、Bλ,将边界函数式(9.1)在(0,L)区间上展开为如下的傅里叶(富利叶)级数

在式(9.4)中令λ=nπ/L并记Aλ,Bλ为An,Bn后,对比式(9.4)和式(9.5)便有(www.xing528.com)

解此方程组得

这里要求

将式(9.7)代入式(9.2)后,再代入式(8.3),便得满足边界条件式(9.1)的解。

对于以上的解答还需作如下的补充说明。

在式(9.2)中,如λ=0,便有K0(λr)、K1(λr)→∞而无意义,所以取λ=1,2,3,…,∞。但这就相应决定了式(9.5)中的n=1,2,3,…因此使得式(9.5)中第2式不像通常的余弦级数那样n=0,1,2,3,…而是缺少了含a0的首项。显然,这就要求边界条件函数f2(z)能用式(9.5)中第2式那样的级数来表达。例如当n=L/π时,f2(z)=cosz等。

或者,为避免上述限制,可将边界条件式(9.1)分解为两种情况

对于前一种情况,应力函数采用式(9.2);对后一种情况,改用

则两种边界函数均只需展开为正弦级数,然后将两种边界条件的解答进行叠加即得。