旅行商问题的求解指南

旅行商问题描述

旅行商问题（Travelling Salesman Problem,TSP）是：一个商品推销员要去若干个城市推销商品，该推销员从一个城市出发，需要经过所有城市后，回到出发地。应如何选择行进路线，以使总的行程最短？

旅行商问题

旅行商问题的可行解是所有顶点的全排列，随着顶点数的增加，旅行商问题会产生组合爆炸，它是一个NP完全问题，在运筹学和理论计算机科学中非常重要，在交通运输、电路板线路设计以及物流配送等领域有着广泛的应用。最早的旅行商问题的数学规划是由Dantzig（1959年）等人提出的，并且他们在最优化领域中进行了深入研究。许多优化方法都用它作为一个测试基准。尽管问题在计算上很困难，但已经有了大量的启发式算法和精确算法来求解数量上万的实例，并且能将误差控制在1%以内。

早期的研究者使用精确算法求解旅行商问题，常用的算法包括分支定界法、线性规划法、动态规划法等。但是，随着问题规模的增大，精确算法将变得无能为力，因此，在后来的研究中，国内外学者重点使用近似算法或启发式算法，主要有遗传算法、模拟退火算法、蚁群算法、禁忌搜索算法、贪婪算法和神经网络等。

基于模拟退火算法的旅行商问题求解

我们在前面的例子中曾经提过贪心算法。如果把寻找最优值看作下山找到最低处的过程，贪心算法就是朝着海拔下降的方向行进，这有可能陷入一个并不是最低点的山谷（局部最优值），如下图所示。

算法搜索过程

模拟退火算法允许在搜索过程中，以一定的概率进入海拔更高的地方，这样反而有更多的可能性找到真正的低点。模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加到高温，然后徐徐冷却，加温时固体内部粒子随温度的升高变为无序状，内能增大，而冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。根据Metropolis准则，粒子在温度为T时趋于平衡的概率为e(-ΔE/(kT))，其中E为温度为T时的内能，ΔE为其改变量，k为玻尔兹曼（Boltzmann）常数。

如何将上述过程转成一个可以利用的算法？可以看到，在退火过程中，随着内能的减少，当量最少时，粒子趋于平衡，达到某个稳态。如果这个内能对应需要优化的目标函数值，且是求最小值，则当两个解对应的目标函数值的差很小时，可以说进入了某个谷底，为了避免进入局部的谷底，新解的接受与否并不仅取决于目标函数值的差，而是以一定的概率来确定。模拟退火算法的流程如下。

① 初始化：初始温度为T(充分大)，温度下限为Tmin（充分小），初始解状态为S(是算法迭代的起点)，每个T值的迭代次数都为L。

② 对k=1,…,L做第③至第⑥步。

③ 产生新解S′。

④ 计算增量ΔE=C(S′)-C(S)，其中C(S)为评价函数。

⑤ 根据Metropolis准则确定是否接受新解：若ΔE＜0则接受S′作为新的当前解，否则以概率exp(-ΔE/T)接受S′作为新的当前解。

⑥ 如果满足终止条件（例如连续若干个新解都没有被接受），则输出当前解作为最优解，结束程序。

⑦ T逐渐减小，且T＞Tmin，然后转第②步。当T≤Tmin时，结束程序。

下面我们利用模拟退火算法对TSP问题进行求解，本程序参考https://ericphanson.com/blog/2016/the-traveling-salesman-and-10-lines-of-python/。

--------------------part 1导入相应的库--------------------

import random,numpy,math,copy,matplotlib.pyplot as plt

--------------------part 2 生成初始数据--------------------

#随机生成15个城市

cities=[random.sample(range(100),2)for x in range(15)];

#生成一个旅行路径tour，即城市号的组合

tour=random.sample(range(15),15);

------------------part 3调用模拟退火算法------------------

#生成参数temperature，取值范围为101～105,即[1,100 000]，一共有100 000个数(www.xing528.com)

for temperature in numpy.logspace(0,5,num=100000)[::-1]:

#在15个数中任意选择两个位置

[i,j]=sorted(random.sample(range(15),2));

#对原有路径tour中的i,j位置（计数从0开始）的城市进行调换，形成新的路径

newTour=tour[:i]+tour[j:j+1]+tour[i+1:j]+tour[i:i+1]+tour[j+1:];

#计算旧路径中会改变部分的路径长度，即tour中i-1到i+1,j-1到j+1之间的距离

oldDistances=sum([math.sqrt(sum([(cities[tour[(k+1)%15]][d]-cities[tour[k % 15]][d])＊＊2 for d in[0,1]]))for k in[j,j-1,i,i-1]])

#计算新路径中改变部分的路径长度

newDistances=sum([math.sqrt(sum([(cities[newTour[(k+1)% 15]][d]-cities[newTour[k % 15]][d])＊＊2 for d in[0,1]]))

for k in[j,j-1,i,i-1]])

#计算模拟退火算法中的能量变化（此处为路径长度的变化），当大于某个随机概率时，接受新的路径，新路径长度越短，被接受的概率就越大

if math.exp((oldDistances-newDistances)/temperature)>random.random():

tour=copy.copy(newTour);

-----------------------part 4画图-----------------------

plt.plot([cities[tour[i % 15]][0]for i in range(16)],[cities[tour[i % 15]][1]for i in range(16)],'xb-');

plt.show()

下面对以上程序中的重要部分进行解读。

假定有15个城市，这里的目标是列出一个“城市”列表，每个城市都包含两个坐标。

用语句“cities=[random.sample(range(100),2)for x in range(15)]”生成15组城市的坐标，例如[[76,70],[7,94],[33,17],[34,45],[34,13],[62,2],[52,62],[19,58],[60,81],[34,30],[60,84],[95,65],[58,74],[34,15],[98,70]]。

再给这些城市进行编码，利用语句“tour=random.sample(range(15),15)”生成一个列表变量tour，包含15个城市的编号，例如[11,5,4,13,2,9,3,7,1,10,8,12,6,0,14]表示从城市11到城市5，以此类推。

如果要生成新的旅行路径newTour，这里采用在原有路径tour上进行城市置换。假如此时i=2，j=9，则新的路线“newTour=tour[:i]+tour[j:j+1]+tour[i+1:j]+tour[i:i+1]+tour[j+1:]”实际上是将旧路线中的第3和第10个城市进行了互换，如下图所示。

第3和第10个城市互换

因此，在计算路径差时，只需要计算上图圆圈处的路径差，其他部分都是一样的。这就是oldDistances和newDistances计算公式中所呈现的部分。

这样就可以得到优化后的路径，如下图所示。

优化路径结果